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非线性算子与微分方程边值问题的多解

崔玉军  
【摘要】:非线性泛函分析是现代分析数学中的一个重要分支学科,它为解决当今科技领域中出现的各种非线性问题提供了富有成效的理论工具。在处理实际问题所对应的各种非线性积分方程和微分方程中发挥着不可替代的作用。 非线性常微分方程边值问题的研究是一个具有持久生命力的课题。近一段时期以来,非线性常微分方程边值问题解的存在性受到广泛的关注。在非线性常微分方程边值问题解存在性的研究中,很多文献对非线性函数赋予了各种不同的条件。线性全连续算子的特征值和谱半径是非常重要的、具有实际意义的指标。本文的前两章致力于对(抽象空间)非线性常微分方程边值问题解的存在性给出特征值标准,即对非线性函数赋予与线性方程的特征值相关的条件。所得到的结果,无论在方程类型还是在条件上,都是近期相当多的文献中结论的推广。第三章考虑的是Sturm-Liouville问题,利用Rabinowitz全局结构理论给出了Sturm-Liouville问题存在多个解的充分条件。在最后一章中我们引入一些新的概念得到了算子方程多解的存在性结论。本文采用的方法主要是全局结构,锥理论和不动点指数。 第一章研究了Banach空间中二阶微分方程的边值问题。我们首先考察Banach空间E中奇异非线性两点边值问题 x″(t)+f(t,x(t))=θ,t∈(0,1), (1) x(0)=x(1)=θ。其中θ是E中的零元。假设 (H_1)f∈C[(0,1)×P\{θ},P],对任意的t∈(0,1),x∈P\{θ},有‖f(t,x)‖≤K(t)‖g(x)‖,其中函数K在(0,1)上非负可测且满足 integral from n=0 to 1 s(1-s)K(s)ds<十∞。又设对任意的b>a>0,g在P\{θ}上连续。令g[a,b] (?) ‖g(x)‖<+∞,其中P_a={x∈P|‖x‖<a}。


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