分数阶微积分在粘弹性材料本构方程中的某些应用

【摘要】：本论文由彼此相关而又独立的四章所组成。第一章为序言，简要介绍了本文所需的数学工具，也即分数阶微积分的基本概念、发展历史及应用。在§1．1节中，简要介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用，给出了Riemann-Liouville型分数阶积分算子_0D_t~(-α)(0＜R(α)＜1)、微分算子_0D_t~β(0＜R(β)＜1)和局部分数阶导数D~qf(y)的定义及主要性质，并讨论了分数阶积分和微分算子的Laplace变换。在§1．2节中，给出了广义Mittag-Leffler函数E_(α，β)(z)的定义及其某些重要公式。在§1．3节中，给出H-Fox函数H_(p，q)~(m，n)[(?)]的定义、级数表达式、渐近性态及其基本性质，并讨论了H-Fox函数的特例，如广义Mittag-Leffler函数E_(α，β)(z)和H_(1，2)~(1，1)(z)，Fox-H函数是求解分数阶微分方程的有力工具。在§1．4节，将分数阶微积分理论应用在粘弹性材料的本构方程中，分别讨论了整数阶粘弹性模型和分数阶粘弹性模型的发展及其应用。本章是以后各章的基础。 在第二章用分数阶的St．Venant模型研究了人颅骨的粘弹性。首先将标准的整数阶St．Venant模型推广至如下的分数阶形式：然后应用离散求逆Laplace变换的方法，根据Boltzmann迭加原理，可得在如下的准静态加载过程