分数阶微积分在粘弹性材料本构方程中的某些应用
【摘要】:本论文由彼此相关而又独立的四章所组成。第一章为序言,简要介绍了本文所需的数学工具,也即分数阶微积分的基本概念、发展历史及应用。在§1.1节中,简要介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用,给出了Riemann-Liouville型分数阶积分算子_0D_t~(-α)(0<R(α)<1)、微分算子_0D_t~β(0<R(β)<1)和局部分数阶导数D~qf(y)的定义及主要性质,并讨论了分数阶积分和微分算子的Laplace变换。在§1.2节中,给出了广义Mittag-Leffler函数E_(α,β)(z)的定义及其某些重要公式。在§1.3节中,给出H-Fox函数H_(p,q)~(m,n)[(?)]的定义、级数表达式、渐近性态及其基本性质,并讨论了H-Fox函数的特例,如广义Mittag-Leffler函数E_(α,β)(z)和H_(1,2)~(1,1)(z),Fox-H函数是求解分数阶微分方程的有力工具。在§1.4节,将分数阶微积分理论应用在粘弹性材料的本构方程中,分别讨论了整数阶粘弹性模型和分数阶粘弹性模型的发展及其应用。本章是以后各章的基础。
在第二章用分数阶的St.Venant模型研究了人颅骨的粘弹性。首先将标准的整数阶St.Venant模型推广至如下的分数阶形式:然后应用离散求逆Laplace变换的方法,根据Boltzmann迭加原理,可得在如下的准静态加载过程