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三阶mKdV方程的两类并行差分算法

刘洪华  
【摘要】: 对于三阶非线性modified Korteweg-de Vries(mKdV)方程的周期边值问题,本文给出了可并行求解的两类差分算法:一种是交替分段差分方法,另一种是交替分组迭代方法。第一种方法是在朱少红关于色散方程的本性并行的差分格式上加上一个非线性项u~2u_x,提出了mKdV方程的一般形式的交替差分格式,通过对离散变量的适当取值,得到了求解mKdV方程的交替分段显-隐方法(ASE-I)和交替分段Crank-Nicolson方法(ASC-N)。第二种方法也在色散方程的基础上提出,首先给出了求解色散方程的交替分组迭代方法,并给出理论分析和算例,然后将该方法应用于求解非线性mKdV方程,在线性情形之下分别证明了交替分段差分方法的绝对稳定性和交替分组迭代方法的收敛性。最后对一个孤立波解、两个孤立波解的情况都分别进行了数值试验,并对一个孤立波解的收敛阶和精确性进行了试验和比较。结果表明,这两种方法使用方便,适合并行计算,并且有很好的精度和实用性。 本文共分三部分,分述如下: 第一部分,主要介绍了mKdV方程的背景和一些比较有效的数值解法,以及本文所提出的两种方法的发展背景和已有的成果。 第二部分首先给出了mKdV方程的一般形式的交替差分格式,然后根据离散变量的适当取值可得到两类非对称差分格式,将一类非对称差分格式与对称的显、隐格式组合,形成了交替分组方法(AGE),一般情形的交替分组显-隐方法(ASE-I)和特殊情形的ASE-I方法。另一类非对称差分格式与Crank-Nicolson格式组合得到了ASC-N方法。为了分析格式的线性稳定性,本文给出了一般情形的ASE-I格式和ASC-N格式具体的矩阵表示,并就线性情形作了稳定性分析,最后的数值算例验证了方法的稳定性和精度。 第三部分首先介绍了交替分组迭代方法求解色散方程的过程,理论分析和数值算例表明该方法的实用性强也有很好的精度。于是在这个思想上,将该方法用于求解三阶非线性mKdV方程的周期边值问题,首先构造了隐式差分格式,然后以此隐式差分格式为基础,设计出可并行求解mKdV方程的交替分组迭代方法,证明了迭代过程的线性收敛性,并对一个孤立波解和两个孤立波解的情况分别进行了数值试验。


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