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超前BSDE及SDE中的相关结果

杨哲  
【摘要】: 倒向随机微分方程(简记为BSDE)的线性形式首先由Bismut在1973年引入,而Pardoux和Peng在1990年研究了Lipschitz条件下非线性BSDE解的存在唯一性定理。在过去的近二十年中,BSDE受到广泛的关注,这由于它和非线性偏微分方程之间存在密切的联系(如参见Barles和Lesigne,Briand,Pardoux和Peng,等等),并可应用于非线性半群理论及随机控制问题(见Quenez,ElKaroui,Peng和Quenez,Haznaxiene和Lepeltier,及Peng,等等)。同时在金融数学中,套期保值及不确定权益定价理论通常可表为一类线性的BSDE(见ElKaroui,Peng和Quenez)。在1997年Peng引入了一种新的非线性期望:由特殊BSDE导出的g-期望,利用Peng的g-期望,很容易定义对应的条件期望,Rosazza通过g-期望得到一类动态风险测度。Peng定义了信息流相容的估计和g-估计,从而证明了满足某些特定限制的信息流相容的估计就是g-估计,即无论模型或机构如何来估值的,一旦它满足这些限制,在它背后就存在一个BSDE,生成元g是规则,而BSDE的解即是该估计。 BSDE是如下形式的方程: Y_T=ξ+integral from n=t to T g(s,Y_s,Z_s)ds-integral from n=t to T Z_sdW_s,0≤t≤T,其中(W_t)0≤t≤T是定义在概率空间(Ω,(?),((?)_t)0≤t≤T)上的标准d-维布朗运动,这里((?)_t)0≤t≤T是该布朗运动生成的信息流。 另一方面,过去40年间,对两个It(?)随机微分方程(SDE)比较定理的研究引起了相当多的关注。比如,Anderson,Gal’cuk和Davis,Ikeda和Watanable,Mao,Skorohod,Yamada及Yan都给出了比较定理的充分条件,最近Peng和Zhu借助生存性定理给出了比较定理的充要条件,尽管如此,到目前为止,随机微分延迟方程的比较定理还没有结果,而这也是本文将要研究的内容。同时,为了让理论贴近实际,本文研究带马尔可夫转换的随机微分延迟方程(SDDEwMS)的比较定理。 带马尔可夫转换的随机微分方程(SDEwMS)是混合系统中一个很重要的类型。在生态系统,工程学以及其他领域中,许多系统都显示出离散动力特性;比如,部件失效或维修,更换子系统的相互关联等等。当和连续动力系统相偶合时,这些离散现象就构成了所谓的混合系统。本文所特别关注的是离散行为是由连续时间马尔可夫链驱动的混合系统。这些系统常用来模拟一些工程和其他领域类的系统.例如,Kazangey和Sworder利用该框架建立了国民经济的宏观模型以研究政府住房减免政策对于住房分区稳定性的影响。描述存款利率的影响所产生的相互关系也可以用有限状态的马尔可夫链来量化度量不确定利率对最优策略的作用。Athans提出这种混合系统应该作为一个基本框架来表述和解决控制相关的问题,比如战斗指令管理,控制和通讯系统等。混合系统也被用来处理电力系统(参见Willsky和Levy),太阳能集热器的控制(参见Sworder和Rogers)及枯草菌素生产模型(参见Hu,Wu和Sastry).在Mariton书中,他讨论了该混合系统是怎样作为一种便捷的数学框架来建模解决各种目标跟踪,容错控制和制造过程的设计问题。另一方面,控制工程的直觉告诉我们时间延迟在实际系统中非常普遍,并且经常是系统不稳定和性能不佳的原因。进一步说来,延迟的精确值通常难以获得,故而经常采用保守的估计值。时间延迟的重要性吸引了许多人对带转换扩散的时间延迟的稳定性问题进行研究:见[10,38,44]。同时,时间延迟在经济及金融上也十分常见,其应用在这方面的研究可参见Ivanov etal.[25,26,27],Kazmerchuk et al.[29]及Swishchuk et al.[58,59,60]。 论文组织和具体安排如下: 第一章主要介绍了一种新型的方程-倒向随机微分超前方程(简记为超前BSDE)。这种方程与随机微分延迟方程(简记为SDDE,参见Kolmanovskii,Myshkis和Mao)之间存在完美的对偶。这种新方程具有以下形式: 实际上,超前BSDE是把未来一段时间的不确定的目标转化为今天确定的解以制定今天的决策。本文给出了超前BSDE适应解的存在唯一性定理。而这正是超前BSDE比BSDE晚出现的原因所在。如果沿用f的传统条件,那么超前BSDE的解将不再具有适应性,故而取f为泛函以代替原来的函数来克服这个困难。同时,我们还得到解对参数的连续依赖性,比较定理,单调收敛定理以及带停时的超前BSDE适应解的存在唯一性定理。需要注意的是超前BSDE的比较定理成立的条件与经典BSDE的有所不同,即在原来条件的基础上还要求f对Y的超前项单调增且不含Z的超前项。通过超前BSDE与SDDE的对偶,还可以解决一类控制问题。 以下是第一章的主要结果: 定理1.2.1.(超前BSDE与SDDE的对偶)设θ>0是给定常数且μ.,(?).∈L~(?)~2(t_0—θ,T+θ),l.∈L_(?)~2(t_0,T),σ.,(?).∈L_(?)~2(t_0—(?),T+θ;R~(d×1)),μ.,(?).,σ.,(?).一致有界。则(?)Q.∈S_(?)~2(T,T+θ),P.∈L_(?)~2(T,T+θ;R~d),超前BSDE的解Y可用下面的公式显式表达: Y_t=E~((?)T)[X_TQ_T+integral from n=t to T X_sl_sds+integral from n=T to T+θ(Q_s(?)_(s-θ)+P_s(?)_(s-θ)X_(s-θ)ds],a.e.,a.s., 其中X_s是如下SDDE的解: 定理1.4.2.(适应解的存在唯一性)设f满足(H1.1)和(H1.2),δ及ξ满足(i)和(ii)。则对任给终值条件ξ.∈.S_(?)~2(T,T+K;R~m),η.∈L_(?)~2(T,T+K;R~(m×d)),超前BSDE(*)存在唯一适应解(Y,Z.)∈,S_(?)~2(0,T+K;R~m)×L_(?)~2(0,T+K;R~(m×d))。 定理1.5.1.(比较定理)考虑如下两一维超前BSDE: 其中j=1,2.设对j=1,2,fj满足(H1.1)和(H1.2),ξj∈S_(?)~2多(T,T+K),δ满足(i)和(ii),且(?)t∈[0,T],y∈R,z∈R~d,有,f2(t,y,z,·)单调增,即,f2(t,y,z,θ_r)≥f2(t,y,z,θ′_r),若θ_r≥θ′_r,θ,θ′∈L_(?)~2(t,T+K),r∈[t,T+K]。如果ξ_s~((1))≥ξ_s~((2)),s∈[T,T+K],且f1(t,y,z,θ_r)≥,f2(t,y,z,θ_r),t∈[0,T],y∈R,z∈R~d,θ∈L_(?)~2(t,T+K),r∈[t,T+K],那么Y_t~((1))≥Y_T~((2)),a.e.,a.s. 定理1.6.1.(对偶在控制上的应用)设θ>0为给定常数,对T∈[0,t],y∈R,z∈R~d,叩∈L_(?)~2(t,t+θ),r∈[t,T+θ],令 f(t,y,z,η_r)=esssup{α(t,u_t)y+zσ(t,u_t)+b(t,u_t)E~((?)t)[η_r]+l(t,u_t),u∈u},则超前BSDE 有唯一解(Y,Z),且Y是控制问题Y~*的值函数,即对任给£∈[0,T], Y_T=Y_t~*=esssup{Y_t~u,u∈u}, 其中Y~u是如下线性超前BSDE的解: 这里,f~u(t,y,z,η_r)=α(t,u_t)y+zσ(t,u_t)+b(t,u_t)E~((?)t)[η_r]+l(t,u_t),t∈[0,T],y∈R,z∈R~d,η∈L_(?)~2(t,T+θ),r∈[t,T+θ]且 定理1.7.1.(单调收敛定理)设m=1.考虑如下一族超前BSDE:对n=1,2,…,设对每一个n=1,2,…,fn满足(H1.1)和(H1.2),ξn(·)∈S_(?)~2(T,T+K),δ满足(i)和(ii),(?) n∈N,t∈[0,T],y∈R,z∈R~d,有fn(t,y,z,·)单调增,且存在常数μ>0使得E[integral from n=0 to T|fn(s,0,0,0)|~2ds]≤μ,(?) n∈N.如果(?) t∈[0,T],y∈R,z∈R~d,θ∈L_(?)~2(t,T+K),r∈[t,T+K],有fn(t,y,z,θ_r)↗ f(t,y,z,θ_r),当n→∞时,且(?)s∈[T,T+K],有ξn(s)↗ξ(s),当n→∞时,及f∈S_(?)~2(T,T+K),那么超前BSDE 有解(Y,Z.)∈S_(?)~2(0,T+K)×L_(?)~2(0,T;R~d)且Y_t=sup_n Y_t~((n)),a.e.,a.s. 定理1.8.3.(带停时的超前BSDE适应解的存在唯一性)设δ满足(i)和(ii),f循序可测且满足:E[(integral from n=0 to∞|f(s,0,0,0)|ds)~2]<∞且存在三个正函数μ_1(·),μ_2(·)及v(·)使得对任给s∈[0,T],y,y′∈R,z,z′∈R~d,ξ,ξ′∈L_(?)~2(s,T+K),r∈[s,T+K],有且(integral from n=0 to∞μ_1(r)dr)~2+(integral from n=0 to∞μ_2(r)dr)~2+integral from n=0 to∞v~2(r)dr<∞。则对任意给定终值条件ξ.∈S_(?)~2(T,T+K),超前BSDE 有唯一解(Y,Z.)∈S_(?)~2(0,T+K)×L_(?)~2(0,T;R~d)。 第二章研究推广的超前BSDE,其形式如下:显然这种方程是第一章中研究方程的推广形式。本文给出了推广的超前BSDE适应解的存在唯一性定理,解对参数的连续依赖性,比较定理和单调收敛定理。还研究了推广的超前BSDE的一个例子,它与SDDE之间存在对偶关系并将该对偶应用于随机控制问题。 以下是第二章的主要结果。 定理2.2.2.(适应解的存在唯一性定理)设f满足(H2.1),(H2.2)和(H2.3)。则对任给终值条件ξ.∈.S_(?)~2(T,T+K;R~m),η.∈L_(?)~2(T,T+K;R~(m×d)),如上推广的超前BSDE存在唯一解(Y,Z.)∈.S_(?)~2(0,T+K;R~m)×L_(?)~2(0,T+K;R~(m×d))。 定理2.3.1.(比较定理)令(Y~((1)),Z~((1))和(Y~((2)),Z~((2))分别是下面两一维推广的超前BSDE的解: 其中j=1,2.设对j=1,2,f_j满足(H2.1),(H2.2)和(H2.3),ξ_j∈S_(?)~2(T,T+K)且(?) t∈[0,T],z∈R~d,f2(t,·,z)单调增,即f2(t,θ,z)≥,f2(t,θ′,z),若θ_r≥θ′_r,θ,θ′∈L_(?)~2(t,T+K),r∈[t,T+K]。如果ξ_s~((1))≥ξ_s~((2)),s∈[T,T+K],且f1(t,θ,z)≥f2(t,θ,z),t∈[0,T],θ∈L_(?)~2(t,T+K),z∈R~d,那么Y_t~((1))≥Y_t~((2)),a.e.,a.s. 定理2.5.1.(单调收敛定理)设m=1.考虑如下一族推广的超前BSDE:对n=1,2,…,设对任给n=1,2,…,fn满足(H2.1),(H2.2)及(H2.3),ξn(·)∈S_(?)~2(T,T+K),(?) n∈N,t∈[0,T],z∈R~d,fn(t,·,z)单调增且存在常数μ>0使得E[integral from n=0 to T|fn(s,0,0)|~2ds]≤μ,(?)n∈N.如果(?)t∈[0,T],z∈R~d,θ∈L_(?)~2(t,T+K),有fn(t,θ,z)↗f(t,θ,z),当n→∞时,及(?)s∈[T,T+K],有ξn(s)↗ξ(s),当n→∞时,且ξ∈S_(?)~2(T,T+K),那么推广的超前BSDE 有解(Y,Z.)∈S_(?)~2(0,T+K)×L_(?)~2(0,T;R~d)且Y_t=sup_nY_t~((n)),a.e.,a.s. 第三章给出了一维SDDEwMS的比较定理及它的一个应用。且证明该比较定理的方法与第1章一维超前BSDE比较定理的证明方法类似。 以下是第三章的主要结果。 定理3.3.4.(比较定理)考虑如下两一维SDDEwMS:其中j=1,2.设δ(t)满足(A.1),(A.2)且f1,f2,g满足(H3.1′),(H3.2′).如果f1(x,y,t,i)≥f2(z,y,t,i),x,y∈R,t∈[0,T],i∈S,且x_1(s)≥x_2(s),s∈[-T,0],那么X~((1))(T)≥X~((2))(t),a.e.,a.s.


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