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金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究

孙鹏  
【摘要】: 早期的金融市场上只有四种金融工具:银行存款、汇票(银行承兑汇票)、债券和股票[朱利安·沃姆斯利(2003)]。最早的银行存款产生于13世纪,所知最早的是卢卡的瑞塞迪银行(Ricciardi of Luca),它在1272-1310年给英国王室提供了40万英镑的借款,虽然这笔借款的拖欠导致了该公司的破产,但同时也留下了一个早期的金融风险的例子。汇票(Bill of Exchange,Draft)作为以支付金钱为目的,并且可以流通转让的债权凭证几乎和银行存款同时代产生,而各种类型的债券(Bond)作为定期获得利息,到期偿还本金及利息的凭证是到16世纪才出现的。第一只真正意义上的政府债券是1555年的Grand Parti of FrancisⅠ,它不是面对少数银行发行的,而是面向所有的投资者。股票则起源于1600年的英国东印度公司,最初的股票是出海前向人集资,航次终了将个人的出资及该航次的利润交还出资者的凭证。第一家永久性的股份公司是成立于1602年的荷兰东印度公司。1613年起,该公司改为四航次才派发一次利润,这也正是“股东”和“派息”的前身。 由此可以看出,早期的金融投资相对简单,投资者遵循的是“低买高卖”,“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”之类的朴素的投资哲学。直到20世纪后半叶,金融市场的发展才出现急剧上升的趋势,数量工具也在金融市场中崭露头脚。 1900年,Louis Bachelier发表了他的学位论文“Théorie de la Spéculation”(投机交易理论)[Bachelier(1900)]。它被公认为现代金融学的里程碑。他在论文中首次利用随机游走的思想给出了股票价格运行的随机模型,在这篇论文中,他就提到了期权的定价问题。 七十年代初,Black和Scholes取得了一个重大的突破[Black(1989)],掀起了第二次金融变革。他们推导出了基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足的微分方程 Fisher Black和Myron Scholes在他们那篇突破性的论文[Black Scholes(1973)]中成功求解了他们的微分方程,得到了欧式看涨期权和看跌期权的精确公式。RobertMerton随即将模型推广到了更一般的范畴[Merton(1971)][Merton(1973)]。因为他们的的杰出工作,Robert Merton和Myron Scholes一起分享了1997年的诺贝尔经济学奖。 金融市场的迅速发展也推动了相关的数学工具的迅猛发展[巴克斯特、伦尼(2006)]。近年来在金融数学方面应用越来越广泛的倒向随机微分方程(BSDE)的线性形式首先由(Bismut(1978)]在1978年引入,1990年[Pardoux Peng(1990)]研究了Lipschitz条件下非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性定理。[Duffie Epstein(1992b)]在研究随机微分效用过程中也独立地引进了倒向随机微分方程的一个特别典型的情况。他们发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好(即计量经济学的基础—效用函数理论)随后El Karoui和Quenez发现金融市场的许多重要的衍生证券(如期货期权等)的理论价格都可以用倒向随机微分方程解出,特别是上面提到的Black-Scholes公式正可以被归纳为BSDE线性情况下的一种特殊形式。可参见[Duffie Lions(1992)],[Duffie,Geoffard, Skiadas(1994)],[El Karoui Quenez(1995)],[El Karoui,Peng Quenez(1997)]。 求解BSDEs一般有两种途经:一种途径是用随机方法直接对BSDEs求解,如Monte Carlo方法;另一种途径则是通过求解PDE来求解BSDEs。第二种途径的理论基础是[Peng(1991)]获得的一类与正向随机微分方程(FBSDEs)的解耦合的倒向随机微分方程(BSDE)的解与一类拟线性二阶偏微分方程(PDE)的解的对应关系,即非线性Feynman-Kac公式。Feynman-Kac公式将与SDE耦合的BSDE的解和PDE的解联系起来。这样一方面可以使用相对比较成熟的PDE方法来解BSDE,另一方面可以反过来使用BSDE的随机算法来解决PDE中的问题。见[Ma,Protter Yong(1994)],[Ma Yong(1995)],[Duffie,Ma, Yong(1995)],[Ma,Protter,San Martín Torres(2002)],[Peng Xu(2006a)]等。随后[Hu Peng(1995)]又通过概率方法获得了一类完全耦合的SDE和BSDE解的存在唯一性。 在实际市场中,更多的衍生证券定价是得不到确切的解析公式的,这时候就可以使用数值计算方法。已有的金融衍生产品的定价方法种类非常丰富,如二叉树方法,Monte Carlo随机模拟方法以及有限差分方法、特征方法等各种PDE中的数值方法(可参见[Karatzas Shreve(1998)]、[Seydel(2004)]、[姜礼尚(2003)])。其中经典的二叉树方法作为一种简便易行的期权估价方法由[Cox,Ross Rubinstein(1979)]在著名的CRR模型中引入,随后扩展出三叉树方法以及切片法(可参见[Parkinson(1977)]和[Boyle(1988)]),并不断改进(见[Hull White(1988)][Levy,Avellaneda Paras(1994)][Tian(1993)]等)。二叉树方法和切片法的收敛性证明分别由[Lamberton(1998)]和[Amin Khanna(1994)]给出。至于Monte Carlo方法,[Douglas,Ma and Protter 1996],[Ma,Protter and Yong 1994]针对正倒向随机微分方程(FBSDE)情形。[Bouchard,Ekeland and Touzi 2002]考虑了非线性情形下的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法。最近,[zhao,Chen Peng(1998)]通过蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法研究提出了一类解倒向随机微分方程的高精度数值格式。 通过BSDE与PDE的联系,[Ma,Protter Yong(1994)]提出了一种用PDE来解一类正倒向随机微分方程的“四步法”,随后[Douglas,Jr.,Ma Protter et al.(1996)]提供了一种特征线差分方法来解上述问题,本论文就是基于“四步法”这种途径分别考虑了美式期权和亚式期权的定价问题: 欧式期权价格可以通过解一个混合导数的高维抛物形偏微分方程(组)的初边值问题得到,通常用数值方法求解,常用的方法有差分方法、有限元方法、有限体积方法等,可参见[李荣华冯果忱(1996)][李德元陈光南(1995)]。与欧式期权不同,由于美式期权可在期权有效期的任何一个时刻执行,美式期权实际上是一个非线性问题。该问题可转化为一个自由边界问题[姜礼尚(2003)]或者依赖于时间的线性互补问题(linear complementarity problem,LCP)[Oxsterlee(2003)]。解决线性互补问题现有很多数值方法,如[Clarke Parrott(1996)]提出了近似线性互补方程的PFAS方法,其优点是该多层格式的迭代次数与网格数是不相关的,并且得到了有效的数值解,但是其执行难度是非常大的。[Oxsterlee(2003)]应用并改进了PFAS格式,有效的避免了数值解的震荡。[Zvan,Forsyth Vetzal(1998)]对于美式期权的可提前执行约束采用惩罚方法来解决,在原偏微分不等式中引入一个惩罚项,使其成为一个偏微分方程。此方法避免了数值解的震荡,但是收敛性会随着离散的优化而降低。[Ikonen Toivanen(2005)][Ikonen Toivanen(2004)]应用了另外一种基于算子分裂的方法来解决美式期权的约束条件。通过离散将空间算子分解为几个简单的算子,并将每个时间层分解成与这些分解后的算子等数目。[Ikonen Toivanen(2005)]中,他们使用这种方法来解决随机波动率下的美式期权定价问题,将差分算子及可提前执行约束分解成一系列一维线性互补问题(LCPs),然后应用BrennanSchwartz格式[Brennan Schwartz(1977)]近似一维线性互补问题。这种方法的优点是将复杂的高维问题化为多个简单的一维问题,使得计算的复杂性大大减少。 但是考虑到期权定价中满足极值原理的重要性,本文针对描述美式期权定价的二维问题提出了一类新的有限体积九点格式和相应的算子分裂格式,该格式结合价格漂移方向近似二阶混合导数,使得提出的格式满足极大值原理和一致误差估计。 亚式期权是奇异期权的一种,其到期收益函数依赖于标的资产有效期至少某一段时间内的某种形式的平均[约翰·赫尔(1997)]。通常取标的资产价格按预定时间内的算术平均值或几何平均值作为其平均价格。目前亚式期权是OTC(柜台交易)市场上广受交易者青睐的金融工具,但即使在标的遵循几何布朗运动的假设下,也只有几何平均亚式期权的定价可以得到显式表达式。而在OTC市场上交易的绝大部分亚式期权都是标的算术平均,对标的算术平均亚式期权进行定价更多的是采用数值方法如二叉树方法[Klassen(2001)]、特征线差分方法[Jiang Dai(2002)]或以标准几何平均亚式期权[Seydel(2004)]来近似逼近。 本文对亚式期权定价问题给出了恰当的边界条件,并提出了一类加权迎风有限体积格式和相应的交替方向格式。对价格漂移占优问题,采用加权迎风技术以避免数值解的非物理震荡;同时,结合亚式期权定价问题特性提出相应的交替方向。从理论上严格证明了提出的格式满足极大值原理,得到了一致误差估计。 本文最后提出了高维偏微分方程的迎风有限体积数值格式,因在BSDE模型中我们讨论的问题都是高维问题,而金融市场中变动因素的多样性和复杂性也决定了在金融定价问题中我们实际上面对的都是高维问题.所以本文结合问题特性提出的格式满足了极大值原理,解决了通常的有限体积格式不满足极值原理的问题并得到了一致误差估计。 论文组织和具体安排如下: 本文第1章主要介绍了金融衍生产品的历史与现状,及金融衍生产品定价的由来,随后从BSDE的角度给出了金融衍生产品定价的数学模型。 本文第2章介绍了倒向随机微分方程(BSDE)与一类拟线性二阶偏微分方程(PDE)存在的对应关系,这就是[Peng(1991)]中获得的非线性Feynman-Kac公式。于是BSDE中可问题可以转化到相对比较成熟的PDE中,使用PDE数值方法方法来解BSDE。同时可以反过来使用BSDE的随机算法来解决PDE中的问题。 本文第3章则简单回顾了一下已有的金融衍生产品的定价方法,如二叉树方法,Monte Carlo随机模拟方法以及有限差分方法、特征方法等PDE中的各种数值方法。 本文第4章主要研究了美式期权定价问题的有限体积数值模拟方法。对随机波动率下美式期权定价问题,我们用新的方法近似二阶混合交叉导数项,用迎风技术近似一阶对流项[Liang Zhao(1997)],提出一类新的有限体积九点格式。 其中算子A_x、A_y、A_(xy)和A_(yx)分别由自四个不同方向(x-方向,xy-方向,yx-方向以及y-方向)的差分方程的系数构成: 其中 相应的θ格式: 同时,我们对所提出的九点格式提出有效的算子分裂格式[Wang Zhao(2003)]。其中k=0,…,l-1, 该分裂格式按照x,y,xy和yx四个方向分解,使得问题的求解变为四个方向的一维求解。对提出的格式,我们有极大值原理和一致误差估计: 若记 定理0.1.1(极值原理)假定V_(ij)~k为G_h上的一网函数,满足以下不等式: 其中L_h中的A_(i,j)满足假设(4.3.1),则V_(ij)~k不可能在内点取正的极大,除非V_(ij)~k为常数。 定理0.1.2(稳定性估计)若L_hV_(ij)~k=0,则 定理0.1.3(误差估计)在定理0.1.1的条件下,离散格式(0.1.5)具有误差估计:‖E~k‖≤K sup_k‖R~k‖,其中E~k为分量为e_(ij)~k的向量。 为说明所提格式的有效性,我们给出几个数值算例。通过与投影超松弛(PSOR)方法[Ikonen Toivanen(2005)]计算出的结果进行比较,我们发现,结果与其吻合。更加复杂的一般的多因素期权定价问题将在以后讨论。 本文第5章主要研究算术平均亚式期权定价问题的交替方向迎风有限体积方法。对算术平均亚式期权定价问题 我们通过方程(0.1.8)给出了适宜的边界条件,令 则亚式期权问题(0.1.8)的初边值条件为: 并在此基础上对价格漂移占优问题,采用加权迎风技术以避免数值解的非物理震荡;同时结合亚式期权定价问题特性,我们提出相应的交替方向。最终得到了一类新的交替方向加权迎风有限体积(ADFV)格式:(0.1.11)中V_(ij)~(n-1/2)的边值和V_(ij)的初边值条件为: 其中 我们从理论上严格证明了提出的格式满足极大值原理,也得到了一致误差估计: 定理0.1.4(极值原理)假定V_(ij)~n满足以下条件: 如果V_(ij)~n在Θ上不是常数,则V_(ij)~n的正最大值只能在(?)Θ上达到。 定理0.1.5(稳定性估计)因定价问题中f=0,我们有以下稳定性估计: 其中L~∞(Ω)为标准Banach空间, 定理0.1.6(误差估计)若v∈L~∞(0,T;L~(4,∞)(Ω))∩W_∞~1(0,T;W_∞(Ω))∩W_∞~2(0,T;L_∞(Ω)),在条件(5.3.3)及定理1的条件下,我们有误差估计: 其中 需要指出的是这一类加权迎风有限体积格式和相应的交替方向格式对于高维问题同样适用。 本文第6章主要研究提出了高维偏微分方程的迎风有限体积数值格式,该格式同样具有极大值原理和一致误差估计。 在BSDE模型中我们讨论的问题都是高维问题,而金融市场中变动因素的复杂性也决定了在实际金融定价问题中我们面对的都是高维问题。以下我们考虑如下二阶抛物型偏微分方程的数值解, 其中f=f((x,y),t),r=r((x,y),t),v=(v_1((x,y),t),v_2((x,y),t),…,v_d((x,y),t))~T,D=(d_(ij)((x,y),t))_(d×d),c=c((x,y),t)。Ω是定义在R~d上的求解区域,终端时刻为T。 基于第6.4节中的分析,我们得到了(0.1.16)的中心有限体积格式(6.5.8)、迎风有限体积格式Ⅰ(6.5.9)和全离散迎风有限体积格式Ⅱ(6.5.10)。需要特别指出的是通常的中心有限体积格式(6.5.8)和迎风有限体积格式Ⅰ(6.5.9)是不满足极值原理的,而对本文提出的全离散迎风有限体积格式Ⅱ(6.5.10),我们有如下定理: 注意到格式(6.5.10)可以表示成 其中 所以用前面类似的方法可以得到如下极值原理、稳定性估计和误差估计: 定理0.1.7(极值原理)假定V_(ij)~k为G_h上的一网函数,满足以下不等式: 则V_(ij)~k不可能在内点取正的极大,除非V_(ij)~k为常数。 定理0.1.8(稳定性估计)若L_hV_(ij)~k=0,则 定理0.1.9(误差估计)在定理1的条件下,离散格式(6.5.8)具有误差估计: 其中E~k为分量为e_(ij)~k的向量。C为是不依赖于解u,V,剖分h和Δt的一个常数。 注0.1.1对格式(6.5.10)同样可以提出相应的分裂格式,可证明其满足极值原理,具有以上误差估计。详细细节和数值模拟正在进行和验证中。


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