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微分方程多解的几个问题

庞常词  
【摘要】: 近年来,在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题,在解决这些非线性问题的过程中,逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支-非线性泛函分析。它主要包括半序方法、拓扑方法和变分方法等内容,为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具,尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性微分方程问题中发挥着不可替代的作用。1912年L.E.J.Brouwer对有限维空间建立了拓扑度的概念,1934年J.Leray和J.Schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场,后来E.Rothe,M.A.Krasnosel'skii,P.H.Rabinowitz,H.Amann,K.Deimling等等对拓扑度理论、锥理论及其应用进行了深入的研究,国内张恭庆教授、郭大钧教授、陈文源教授、定光桂教授、孙经先教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就(这方面的内容参见[1-12])。 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度理论、锥理论和单调迭代方法等研究了几类微分方程边值问题的解的存在性、多解、解的确切个数等。主要内容如下: 本文第一章列出了后面几章用到的有关不动点指数的几个引理,引理1.7是Dancer猜想(参见[3,31,32])的一种特殊情况,文[32,33]的证明中均有这个引理的证明思想,本文把它单独列出来写成引理的形式,并给出了简要证明。 本文第二章研究了下面的四阶两点边值问题多个非平凡解的存在性其中f连续。利用锥中的不动点指数和Leray-Schauder拓扑度,在关于非线性项比较一般的条件下,证明了上述四阶两点边值问题至少存在六个不同的非平凡解,并且如果非线性项是奇函数,则至少存在八个不同的非平凡解。这一章的主要内容参见[36]。用这种方法类似地可讨论2n阶两点边值问题,见[84]。 本文第三章主要讨论了下面一类含有两个参数的四阶微分方程的两点边值问题通过引进一个特殊的锥和计算锥上的算子不动点指数,证明了上述两点边值问题的一个和两个正解的存在性。主要内容参见[37]。 本文第四章主要讨论了下面的n阶m点边值问题其中0<η_1<η_2<…<η_(n-2)<1,α_i>0;Σ_(i=1)~(m-2)α_iη_i~(n-1)<1,本章给出了上述问题的Green函数的一种简单表示式,并讨论了其性质,进一步利用不动点指数的理论得到了其正解和多解的存在性。主要内容参见[54]。 本文第五章主要讨论了一类含有p-Laplacian算子的微分方程的边值问题其中p>1。本章利用“打靶法”讨论了f(u)=λ(u~r-u~s)时,上述边值问题解的确切个数,主要内容参见[68]。在f(u)=λ(u~r+μu~(p-1)+u~s)时的情形,可参见[69]。其他类似地问题见[70,71]。 本文第六章主要把单调迭代技巧和上下解方法应用于一类二阶泛函微分方程周期边值问题得到了其最大最小解的存在性,主要内容参见[83]。关于一阶泛函微分方程周期边值问题类似的结论参见[82]。


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