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多孔及变形介质中混溶及非混溶驱动问题的数值方法

李志涛  
【摘要】: 含有大量任意分布的彼此连通且形状各异、大小不一的孔隙的固体介质叫做多孔介质[1]。按照不同的分类标准,多孔介质有多种分类方法。目前文献中常见的多孔介质一般指针对于常规(非异常高压浅层)油藏。这类多孔介质孔隙度及渗透率一般视为常数。 随着油田开发技术的提高,越来越多的深层油藏被开发,由于深层油气要承受很高的压力和温度,在开发这些油田的过程中,储层要发生部分或全部的不可逆形变。多孔介质具有了变形性质。我们称这类介质为变形介质。 对于一般多孔介质中不可压缩流体驱动问题通常使用两种模型来描述[2]:一类认为流体是完全混溶的,比如石油和混溶剂的流动模型。另一类认为流体是完全不混溶的。比如石油和水的流动模型。描述这两类模型的微分方程有着非常类似地形式。通常表现为耦合的非线性偏微分方程组,一个是压力方程,形式为椭圆型,另一个为饱和度方程,形式为抛物型。 若地层形变,会明显地影响这些油田动态的特征,若开发不当,会酿成极其不良的结果,油井产能急剧地下降且无法恢复。对于介质具有变形性质的异常高压深层油藏。其开发设计方法也不同于常规油藏,特别是由于其渗流规律的非线性,使得不能应用现行的液气渗流理论和油田开发理论来分析地层压力的动态。 实验研究表明[3,63],变形介质的渗透率随地层压力的变化程度是孔隙度的5~15倍,因此,在高压作用下,渗透率的变化是非常大的,在矿场计算中不能忽略渗透率的变化,而目前,多数矿场计算中,都假定渗透率是一个常数,地层参数中只有孔隙度随压力呈线性变化,这显然与实际情况不符,往往会造成大的误差,甚至得到面目全非的结果。我们需要将一般的多空介质模型进行修正来描述变形介质中不可压缩流体驱动问题。在文献[3]中,提出了描述变形介质油藏的渗流方程及开发的某些方法。文献[3,4,5]对变形介质中非线性-弹性渗流理论进行了研究,讨论了变形介质油藏开发的特征进行。在本文,我们把变形介质中流体驱动模型的岩石孔隙度及渗透率视为压力的函数进行处理。在论文的前部分采用有限差分方法研究了变形介质中的一维、二维混溶及非混溶驱替问题。 多孔介质中流体驱动问题通常涉及到对流占优的扩散问题。对于解决对流占优的扩散问题特征线法被证明是行之有效的[6-7,2,9-19]。误差估计以及数值实验显示这种方法可以应用大时间划分,避免或减少通常的数值难题。特征线法结合有限元法参见文献[6,9]。 由于对流占优的扩散问题涉及到随时间变化的如水驱前沿的的局部激烈变化现象。所以可以进一步结合变网格有限元方法来处理[20]。这种方法可以动态的加密或稀疏网格调整基函数。数值结果证明这种方法对于解决这类问题是有效的[21-31]。 混合有限元法已在许多文献中有报道。这种方法可以同时得到解及其梯度。考虑到混合有限元方法的优势,以及特征有限元和变网格有限元方法在解决对流扩散问题优势。我们可以结合这几种方法来讨论多空介质对流占优的混流驱动问题。 在近来的几年里,陆续出现了一系列的文章来研究用最小二乘方法分析不可压缩流体驱替问题[32-34]。这种方法与混合有限元方法一样,能同时得到函数本身与通量的相同阶的逼近,而不需要通过后处理计算函数逼近解梯度,然而,混合元方法所导致的代数问题是一般不对称正定的,这增加了代数求解的难度,另一方面混合元空间还必须满足Ladyzhenskaya Babuska Brezzi(LBB)[35]相容性条件,这给逼近空间的选取带来了一定的限制性。在文[36]中,作者已经明确指出,最小二乘混合元方法可以克服这些不足,它不需要满足LBB条件,因此可以灵活地选取逼近空间,甚至可以分别取不同阶多项式逼近函数及其通量,而且最后得到的代数方程是对称正定的,便于进行预条件迭代处理。 本文后部分将分别采用最小二乘有限元、特征有限元、变网格有限元方法讨论了多孔介质的一类驱替问题。 作者在山大期间,对金融数学产生了兴趣,从事了一点金融数学领域的研究。在本文最后一章,作者讨论了一类在投资选择问题中产生的随机最优控制问题。 全文共分五章。 第一章讨论了变形介质中不可压缩流体的混溶驱动问题。第一节针对一维问题,提出了变形介质中混溶驱动问题的有限差分格式,并给出了收敛性分析。第二节在第一节基础上推广到二维问题,给出了简要的分析。 第二章讨论了变形介质中两相不可压缩流体一维非混溶驱动问题,提出了变形介质中两相不可压缩流体一维非混溶驱动问题的离散格式,并给出了误差估计。这些研究结果已投稿。 第三章结合变网格和特征有限元方法来处理多孔介质中可混溶流体驱动模型问题。提出了动态网格特征混合有限元格式,并给出了收敛性分析。这些研究结果已发表在核心期刊《山大学报》(理学版)。 第四章研究了不可压缩混流驱动问题的全离散最小二乘混合元方法。该章利用最小二乘混合元方法逼近压力方程,而用全离散标准Galakin方法逼近浓度方程,通过引进椭圆投影进行误差分析,最后得到最优误差估计。这些研究结果已投稿。 第五章作为独立的一章研究了一类在投资选择问题中产生的随机最优控制问题,应用经典的凸变分技术得到了局部必要条件,结合必要条件和直接构造的方法,解决了该最优投资选择问题。这些研究结果已发表在核心期刊《山大学报》(理学版)。


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