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分数阶微积分理论在粘弹性流体力学及量子力学中的某些应用

王少伟  
【摘要】: 本论文由彼此相关而又独立的五章所组成。第一章为序言,简要介绍了本文所需的数学工具,也即分数阶微积分的基本概念、发展历史及应用。在§1.1节和§1.2节中,简要介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用,给出了Riemann-Liouville型分数阶积分算子_0D_t~(-α)(0<(?)(α)<1)、微分算子_0D_t~β(0<(?)(β)<1)和局部分数阶导数D~qf(y)的定义及主要性质,并讨论了分数阶积分和微分算子的Laplace变换。在§1.3节中,给出了广义Mittag-Leffler函数E_(α,β)(z)的定义及其某些重要公式。在§1.4节中,给出H-Fox函数H_(p,q)~(m,n)[Z|(?)]的定义、级数表达式、渐近性态及其基本性质,并讨论了H-Fox函数的特例,如广义Mittag-Leffler函数E_(α,β)(z)和H_(1,2)~(1,1)(z),Fox-H函数是求解分数阶微分方程的有力工具。在最后一节,简要阐述了分数阶微积分理论在与本文内容相关的几个领域内的研究进展。本章是以后各章的基础。 在第二章研究了分数阶广义Maxwell流体在环管内旋转非定常Couette流动模型。首先将标准的整数阶Maxwell流体模型推广至如下的分数阶形式: τ+k~α_0D_t~ατ=μγ(1)然后应用积分变换,主要是Laplace变换和Weber变换,以及离散求逆Laplace变换技巧,求得该运动模型的精确解: u(r,t)=b~2-r~2/(b~2-1)r-sum from i=1 to∞A(λ_i,s)πJ_1~2(λ_ib)φ(λ_i,r)/J_1~2(λ_i)-J_1~2(λ_ib),(2)其中A(λ_i,t)如下所示 A(λ_i,t)=sum from n=0 to∞(-1)~n/n! t~((n+1)α)/η~((n+1))E_(α+1,α+1-n)~((n))(-η~(-1)λ_i~2t~(1+α))+sum from n=0 to∞(-1)~n/n! t~(nα)/η~n E_(α+1,1-n)~((n))(-η~(-1)λ_i~2t~(1+α))。(3)在§2.4节中,重点讨论了当α=1的时候的解的情况以及流场的建立。在这种情况下流体模型对应于整数阶Maxwell流体模型,其解为, u(r,t)=b~2-r~2/(b~2)-1)r-sum from i=1 to∞B(λ_i,t)πJ_1~2(λ_ib)φ(λ_i,r)/J_1~2(λ_i)-J_1~2(λ_i,b),(4)这里的B(λ_i,t)表示如下:通过数值作图,结合解的形态讨论,我们分析了Maxwell模型的解的构造,讨论了流场中速度分布的特点及其缘由。本章所得结论与已有文献一致。 第三章研究了广义Maxwell流体和广义二阶流体在环管内的轴向非定常Couette流动问题。在§3.2节,导出了运动的本构方程组及初边条件。在§3.3节中,我们求得了广义二阶流体和广义Maxwell流体在环管内轴向非定常Couette流动的精确解,分别为: u(r,t)=1/lnb(ln b/r)-sum from i=1 to∞sum from n=0 to∞(-1)~nλ_i~(2n)/n! t~n××E_(1-β,1+nβ)~((n))(-η_1~βλ_i~2t~(1-β))πJ_0~2(λ_ib)φ(λ_i,r)/J_0~2(λ_i)-J_0~2(λ_ib)。(5)和 ν(r,t)=1/lnb(ln b/r)-sum from i=1 to∞B(λ_i,t)πJ_0~2(λ_ib)φ(λ_i,r)/J_0~2(λ_i)-J_0~2(λ_ib),(6)这里的B(λ_i,t)表示如下: B(λ_i,t)=sum from n=0 to∞(-1)~nt~((n+1)α)/n!η_2~((n+1)α)E_(α+1,α+1-n)~((n))(-λ_i~2η_2~(-α)t~(1+α))+sum from n=0 to∞(-1)~nt~(nα)/n!η_2~(nα)E_(α+1,1-n)~((n))(-λ_i~2η_2~(-α)t~(1+α))。(7)在§3.4中,对一种更为一般的运动模型做了分析。假设内管的运动速度不是常数,而是一个函数,f(t)=kt,我们导出解的如下表达式: u(r,t)=k integral from n=0 to t u_1(t-τ_1)dτ_1=kt/lnb ln(b/r) -kt{sum from i=1 to∞sum from n=0 to∞(-1)~nπJ_0~2(λ_ib)φ(λ_ir)/J_0~2(λ_i)-J_0~2(λ_ib) t~(nβ)/n!η_1~(nβ)××H_(2,3)~(1,2)[η_1~βλ_i~2t~(1-β)|(0,1);(0,1) (0,1);[-(1+nβ),(1-β)];(n,1)]} (8)和 ν(r,t)=k integral from n=0 to tν_1(t-τ_1)dτ_1=kt/lnb ln(b/r)-kt sum from i=1 to∞πJ_0~2(λ_ib)φ(λ_ir)/J_0~2(λ_i)-J_0~2(λ_ib)×{(t/η2)~α××sum from n=0 to∞(λ_i~(-2)t~(-1))~n/n! H_(2,3)~(1,2)[λ_i~2η_2~(-α)t~(1+α)|(0,1);(0,1) (0,1);[(n-α-1),(α+1)];(n,1)]++sum from n=0 to∞(λ_i~(-2)t~(-1))~n/n! H_(2,3)~(1,2)[λ_i~2η_2~(-α)t~(1+α)|(0,1);(0,1) (0,1);[(n-1),(α+1)];(n,1)]} (9)在§3.5节中,通过数值模拟,分析了分数阶参数对模型及流场中速度分布的影响,并指出在广义Maxwell流体轴向非定常Couette流动的流场速度分布中有振荡存在。 在第四章,研究了广义时空分数阶Schr(?)dinger方程,并对它的某些应用做了研究。首先,在§4.1节中给出了广义时空分数阶Schr(?)dinger的表达式, (iT_p)_0~(νc)D_t~νψ=-L_p~μ/2N_m▽_x~μψ+N_vψ。(10)然后对自由粒子和方势阱这两个经典量子力学中的典型例子做了求解,并将解用广义Mittag-Leffler函数表示出来, ψ(x,t)=1/2πintegral from n=-∞to∞ψ0/ν[exp{-iB~(1/ν)t}-νF_ν(Bi~(-ν),t)]e~(iωx)dω。(11)和 ψ(x,t)=1/ν2/α~(1/2) sum from n=0 to∞sin nπx/α{e~(-iη~(1/ν)t)-νF_ν((-i)~νη,t)}。(12)借助于Mellin变换以及其他积分变换工具,我们求得了广义时空分数阶Schr(?)dinger方程对自由粒子的Green函数, G(x,t;x′,t′)=1/(π~(1/2)|x-x′|)H_(2,3)~(2,1)(|x-x′|~μ/2~μM(t-t′)~ν|(1,1);(1,ν) (1,1);(1/2,μ/2);(1,μ/2)),(13)在本章最后一节,我们将本章中研究的例子与经典量子力学中的例子做了比较,并指出二者之间的关系。 在第五章中,我们借助于Dirac符号,发展了一种求解分数阶扩散方程和分数阶Schr(?)dinger方程的新方法,并做了几个例子的求解。在§5.2节中,用算子的方法求得了分数阶扩散方程 [C_α(?)~α/(?)t~α-L(r)]ψ(r,t)=f(r,t) (14)的Green函数, G(r,t;r′,t′)=1/2πi∫sum from n=1 to mφ_n(r)φ_n~*(r′)/C_αp~α-λ_n e~(p(t-t′))dp+1/2πi∫∫φ_n(r)φ_n~*(r′)/C_αp~α-λ_n e~(p(t-t′))dndp。(15)然后在§5.3节中,应用这种方法求解了时间分数阶扩散方程, 1/K_α(?)~α/(?)t~αψ(r,t)-(?)~2/(?)r~2ψ(r,t)=t~(-α)/K_αГ(1-α),(16)并得到了其解的表达式, ψ(r,t)=1/((4K_αt~α)~(1/2))H_(1,1)~(1,0)[|r-r′|/(K_αt~α)~(1/2)|(1-α/2,α/2) (0,1)],(17)在§5.4节中,我们讨论了这种方法在经典的扩散方程中的应用。


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