分数阶微积分在量子力学和非牛顿流体力学研究中的某些应用

【摘要】： 本论文由彼此相关的而又独立的五章组成。第一章为序言，简要介绍了本文所需的数学工具，即分数阶微积分理论和某些特殊函数。在§1．1节中，简要介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用，分别给出了Riemann-Liouville(R-L)分数阶积分算子_0D_t~(-β)、分数阶微分算子_0D_t~β(0＜Reβ＜1)、Caputo分数阶导数D_*~α和Riesz／Weyl分数阶导数_(-∞)D_x~μ(μ＞0)的定义和重要性质，并讨论了分数阶积分和微分算子的Laplace变换。在§1．2节中，简单介绍了广义Mittag-Leffler函数E_(α，β)(z)的定义及其某些重要公式。在§1．3节中，给出了H-Fox函数的定义、级数表达式及其基本性质，并讨论了H-Fox函数的特例及其Fourier正弦和余弦积分变换。Fox函数是求解分数阶微分方程的有力工具。本章是后面各章的基础。 第二章讨论了分数阶微积分在量子力学中的应用，主要研究了一维空间分数阶Schr(?)dinger方程的一些应用。首先，§2．2节给出了自由粒子满足的分数阶Schr(?)dinger方程 并利用积分变换和H-Fox函数及其性质求得自由粒子的波函数： §2．3节求解了如下的无限深方形势阱 中粒子的波函数和能级分别为： §2．4节讨论并求得了粒子贯穿如下方形势垒 的贯穿系数和反射系数分别为： 还讨论了具有能量E的粒子通过方形势阱的情形。第二章的最后我们讨论了量子散射问题中与分数阶Schr(?)dinger方程 等价的广义的Lippmann-Schwinger积分方程 并同样利用H-Fox函数及其性质确定了其Green函数的形式： 在第三章中，我们对比广义Oldroyd-B流体的本构关系：引入了修正的现象逻辑学的分数阶导数描述的Darcy定律： 在描述粘弹性流体的分数阶Darcy定律的基础上，研究了带分数阶导数的广义Oldroyd-B流体在多孔介质中的涡流运动模型： 我们利用分数阶导数的Laplace变换和Hankel变换，以及广义的Mittag-Leffler函数，分别给出了涡流速度场和温度场的精确解： 特别得，当η=0时，(17)式简化为广义Oldroyd-B流体在非多孔介质中的涡流速度场的解；而当α=1，β=1时，(17)式化为经典Oldroyd-B流体通过多孔介质的涡流速度场的解。当α=0，λ→0，η=0时，我们便得到广义二阶流体的涡流速度场的解，该结果与沈等人的结果一致，并包含了过去的经典结果作为其特例。 第四章在描述粘弹性流体的分数阶Darcy定律的基础上，研究了广义Oldroyd-B流体在多孔介质中由于平板的突然启动而引起的流动：即Stokes第一问题。运用Laplace变换和Fox函数的性质，给出了该问题的速度精确解： 特别地，当η=0时，上述结果就退化为非多孔介质中的广义Oldroyd-B流体的Stokes第一问题的解；当α=1，β=1可得到多孔介质中整数阶Oldroyd-B流体的相关结果；当α=0，λ=0时，可得到多孔介质中广义二阶流体的相关结果；当β=0，λ_t=0时，得到多孔介质中广义二阶流体的解。 第五章中讨论了带分数阶导数的广义Oldroyd-B流体的非定常Couette流模型： 应用Laplace变换和Weber变换，以及广义Mittag-Leffler函数，我们得到了该问题的精确解： 其中A(λ_i，t)=L~(-1) 特别地，当α=β=1时，该模型简化为经典Oldroyd-B流体的非定常Couette流模型；当β=0，λ_t→0时，结果即为广义Maxwell流体的非定常Couette流的解；当α=0，λ→0时，结果即为广义二阶流体的非定常Couette流的解；当α=0，λ=0，β=0，λ_t=0时，该结果简化为Newtonian粘性流体的非定常Couette流的经典解。