分数阶微积分在量子力学和非牛顿流体力学研究中的某些应用
【摘要】:
本论文由彼此相关的而又独立的五章组成。第一章为序言,简要介绍了本文所需的数学工具,即分数阶微积分理论和某些特殊函数。在§1.1节中,简要介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用,分别给出了Riemann-Liouville(R-L)分数阶积分算子_0D_t~(-β)、分数阶微分算子_0D_t~β(0<Reβ<1)、Caputo分数阶导数D_*~α和Riesz/Weyl分数阶导数_(-∞)D_x~μ(μ>0)的定义和重要性质,并讨论了分数阶积分和微分算子的Laplace变换。在§1.2节中,简单介绍了广义Mittag-Leffler函数E_(α,β)(z)的定义及其某些重要公式。在§1.3节中,给出了H-Fox函数的定义、级数表达式及其基本性质,并讨论了H-Fox函数的特例及其Fourier正弦和余弦积分变换。Fox函数是求解分数阶微分方程的有力工具。本章是后面各章的基础。
第二章讨论了分数阶微积分在量子力学中的应用,主要研究了一维空间分数阶Schr(?)dinger方程的一些应用。首先,§2.2节给出了自由粒子满足的分数阶Schr(?)dinger方程
并利用积分变换和H-Fox函数及其性质求得自由粒子的波函数:
§2.3节求解了如下的无限深方形势阱
中粒子的波函数和能级分别为:
§2.4节讨论并求得了粒子贯穿如下方形势垒
的贯穿系数和反射系数分别为:
还讨论了具有能量E的粒子通过方形势阱的情形。第二章的最后我们讨论了量子散射问题中与分数阶Schr(?)dinger方程
等价的广义的Lippmann-Schwinger积分方程
并同样利用H-Fox函数及其性质确定了其Green函数的形式:
在第三章中,我们对比广义Oldroyd-B流体的本构关系:引入了修正的现象逻辑学的分数阶导数描述的Darcy定律:
在描述粘弹性流体的分数阶Darcy定律的基础上,研究了带分数阶导数的广义Oldroyd-B流体在多孔介质中的涡流运动模型:
我们利用分数阶导数的Laplace变换和Hankel变换,以及广义的Mittag-Leffler函数,分别给出了涡流速度场和温度场的精确解:
特别得,当η=0时,(17)式简化为广义Oldroyd-B流体在非多孔介质中的涡流速度场的解;而当α=1,β=1时,(17)式化为经典Oldroyd-B流体通过多孔介质的涡流速度场的解。当α=0,λ→0,η=0时,我们便得到广义二阶流体的涡流速度场的解,该结果与沈等人的结果一致,并包含了过去的经典结果作为其特例。
第四章在描述粘弹性流体的分数阶Darcy定律的基础上,研究了广义Oldroyd-B流体在多孔介质中由于平板的突然启动而引起的流动:即Stokes第一问题。运用Laplace变换和Fox函数的性质,给出了该问题的速度精确解:
特别地,当η=0时,上述结果就退化为非多孔介质中的广义Oldroyd-B流体的Stokes第一问题的解;当α=1,β=1可得到多孔介质中整数阶Oldroyd-B流体的相关结果;当α=0,λ=0时,可得到多孔介质中广义二阶流体的相关结果;当β=0,λ_t=0时,得到多孔介质中广义二阶流体的解。
第五章中讨论了带分数阶导数的广义Oldroyd-B流体的非定常Couette流模型:
应用Laplace变换和Weber变换,以及广义Mittag-Leffler函数,我们得到了该问题的精确解:
其中A(λ_i,t)=L~(-1)
特别地,当α=β=1时,该模型简化为经典Oldroyd-B流体的非定常Couette流模型;当β=0,λ_t→0时,结果即为广义Maxwell流体的非定常Couette流的解;当α=0,λ→0时,结果即为广义二阶流体的非定常Couette流的解;当α=0,λ=0,β=0,λ_t=0时,该结果简化为Newtonian粘性流体的非定常Couette流的经典解。
|
|
|
|
1 |
杨光俊;分数阶积分方程[J];云南大学学报(自然科学版);1997年03期 |
2 |
张淑琴;有限区间上的分数阶扩散波方程的解[J];西北师范大学学报(自然科学版);2005年02期 |
3 |
冯康,王烈衡;非协调元的分数阶Sobolev空间[J];计算数学;1995年03期 |
4 |
卢旋珠;时间分数阶对流-扩散方程的有限差分方法[J];福州大学学报(自然科学版);2004年04期 |
5 |
刘甲国,徐明瑜;人颅骨粘弹性的分数阶模型研究[J];中国生物医学工程学报;2005年01期 |
6 |
刘慈群;非牛顿流体的广义Maxwell模型及其解[J];力学与实践;1995年02期 |
7 |
许晓军,陆启生;分数阶傅里叶变换在球面谐振腔稳定性分析中的应用[J];激光与光电子学进展;1999年03期 |
8 |
陈喆,王宏禹,邱天爽;基于分数阶傅立叶变换的模糊函数的研究[J];信号处理;2003年06期 |
9 |
胡孝博;球面波照射下实现非精确分数阶傅里叶变换[J];南京工程学院学报(自然科学版);2005年01期 |
10 |
白亿同,罗玉芳,胡永旭;Weierstrass类型函数的光滑度与分形维数之间的联系初探[J];工科数学;1995年01期 |
11 |
刘莉;周朴;;基于分数傅立叶变换的图像隐藏技术[J];国防科技大学学报;2005年06期 |
12 |
赵红星;姚正安;;具有超薄厚度的多孔介质中非定常的Stokes流的均匀化[J];湖北师范学院学报(自然科学版);2008年02期 |
13 |
周玉鼎;斯仁道尔吉;;同伦摄动法与几类分数阶积分微分方程的解[J];内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版);2010年01期 |
14 |
常福宣,吴吉春,薛禹群,戴水汉;考虑时空相关的分数阶对流—弥散方程及其解[J];水动力学研究与进展A辑;2005年02期 |
15 |
闵富红;王执铨;;分数阶混沌系统同结构与异结构广义同步[J];控制与决策;2008年09期 |
16 |
包革军,凌怡;一类缺项的负系数解析函数[J];哈尔滨工业大学学报;1995年03期 |
17 |
陈明杰;分数阶傅里叶变换的数值实现[J];重庆大学学报(自然科学版);2003年05期 |
18 |
赵义正,杨景曙;基于分数阶Fourier变换的瞬时频率估计方法[J];安徽大学学报(自然科学版);2005年01期 |
19 |
雷树业,郑贯宇;含湿多孔介质传热传质三参数渗流模型研究方法[J];清华大学学报(自然科学版);1997年02期 |
20 |
郑忠,高小强,石万元;多孔介质中流体流动的格子气自动机模拟[J];化工学报;2001年05期 |
|