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几类非线性微分方程的解及其应用

苏华  
【摘要】: 近年来,在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题,在解决这些非线性问题的过程中,逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支-非线性泛函分析.它主要包括半序方法、拓扑方法和变分方法等内容,为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具,尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性微分方程问题中发挥着不可替代的作用.1912年L.E.J.Brotuwer对有限维空间建立了拓扑度的概念,1934年J.Leray和J.Schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场,后来E.Rothe,M.A.Krasnosel'skii,P.H.Rabinowitz,H.Amann,K.Deimling等等对拓扑度理论、锥理论及其应用进行了深入的研究,国内张恭庆教授、郭大钧教授、陈文源教授、定光桂教授、孙经先教授及刘立山教授、赵增勤教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就(这方面的内容参见[1-12]). 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度理论、锥理论和单调迭代方法等研究了几类非线性微分-积分方程和微分方程奇异边值问题的解的存在性、多解等.主要内容如下: 第一章给出了后面几章要用到的关于不动点存在几个引理. 第二章考虑了下面Banach空间E中非线性混合型二阶积分微分方程初值问题的解,(?)其中J=[0,a](a>0),x_0,x_1∈E,f∈C[J×E×E×E,E],(Tu)(t)=integral from n=0 to t(k(t,s)u(s)ds),(Su)(t)=integral from n=0 to a(h(t,s)u(s)ds).这里k(t,s)∈C[D,R~+],h(t,s)∈C[D_0,R~+],D={(t,s)∈R×R|0≤s≤t≤a},D_0={(t,s)∈R×R|(t,s)∈J×J},R~+=[0,+∞).第一节我们考察了初值问题最大解、最小解、唯一解的存在性,第二节我们考察了初值问题的整体解、唯一解以及解的迭代估计. 第三章研究了几类含p-Laplacian算子微分方程的正解. 第一节应用锥上的不动点指数定理,研究了下面非线性奇异边值问题一个解和多解的存在性(?)其中φ_p(s)是p-Laplacian算子,即φ_p(s)=|s|~(p-2)s,p>1,φ_q=(φ_p)~(-1),1/p+1/q=1,α>0,β≥0,γ>0,δ≥0,ξ,η∈(0,1),ξ<η,a:(0,1)→[0,∞). 第二节通过利用Green函数的反函数来定义算子的方法,研究了下面含p-Laplacian算子非线性n阶m点奇异边值问题一个解和多解的存在性(?)其中φ_p(s)是p-Laplacian算子,即φ_p(s)=|s|~(p-2)s,p>1,φ_q=(φ_p)~(-1),1/p+1/q=1,a(t):(0,1)→[0,∞),0<η_1<η_2<…η_(m-2)<1,α_i>0,sum from i=1 to m-2(α_iη_i~(n-2))1. 第三节讨论了下面含p-Laplacian算子非线性奇异边值系统无穷多个解的存在性(?)其中φ_(pi)(s)是p-Laplacian算子,即,φ_(pi)(s)=|s|~(pi-2)s,p_i>1,φ_(qi)=(φ_(pi))~(-1),1/p_i+1/q_i=1,α_i>0,β_1≥0,γ_i>0,δ_i≥0,α_i:[0,1]→[0,∞),并且在(0,1/2)上有无穷多个奇异点(i=1,2). 第四章研究了半正边值问题正解的存在性. 第一节讨论了下面三阶两点半正边值问题(SBVP):(?)其中f(t,u):(0,1)×[0,+∞)→(-∞,+∞).允许非线性项f(t,u):[0,1]×(0,+∞)→(-∞,+∞)满足Caratheodory条件下以及f半正并且下方可以无界,获得了半正边值问题(SBVP)正解的存在性. 第二节讨论了下面半正(k,n-k)共轭特征值问题(SCEP):(?)其中n≥2,1<k<n-1,λ>0是正参数.本节删除了对非线性项下方有界和上控制函数的严格限制,没有任何的单调性假设,利用不动点指数定理,在非线性项f(t,u):[0,1]×(0,+∞)→(-∞,+∞)半正并且下方无界的条件下,给出了入的确切区间使得半正(k,n-k)共轭特征值问题(SCEP)至少有一个正解,而且讨论了λ在另外合适区间上半正(k,n-k)共轭特征值问题(SCEP)至少有两个正解. 第五章利用上下解方法和不动点指数定理,研究了下面四阶非线性奇异Sturm-Liouville边值问题正解的存在性和非存在性(?)其中λ>0是正实参数,α_i,β_i,δ_i,γ_i≥0(i=1,2)是常数,p∈C~1((0,1),(0,+∞)).而且g,p在t=0和t=1处可以奇异. 第六章研究了下面非线性n阶和m阶多点奇异边值系统(?)以及边值条件(?)其中1/2≤ξ_1<ξ_2<…<ξ_p<1,1/2≤η_1<η_2<…<η_q<1,n,m≥3、p,q,n,m∈N.


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