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倒向随机微分方程的生成元g与g-期望的相关性质

刘洁  
【摘要】: 在1990年,Pardoux和彭实戈教授提出了一类形如:的倒向随机微分方程,并且证明了在一定条件下,该方程存在唯一的一对适应解。现在,BSDE已经被公认为是研究金融数学的一个很有用的工具。它同时也广泛应用在解决随机控制、随机微分对策和拟线性偏微分方程解的概率公式表示等问题上。并由此创造性地提出了一类可以定义条件期望的非线性数学期望——g-期望:ε_(0,T)[ξ]=y_0.后来这一成果引起广大学者的重视,并被应用于金融、经济和数学其他分支。 作为一种非线性数学期望,g-期望具有很多不同于经典数学期望的性质。我们在第一章不加证明地列出它们,包括:保常性、单调性等等。第一章除了介绍倒向随机微分方程以及比较定理等结论之外,还介绍了风险测度的简单性质。 第二章主要的结果之一——g-期望保常性的充要条件。我们知道结果 而且:由g(y,0,t)=0,(?)(y,t)∈R×[0,T],可以得到ε_(0,T)[α]=α,(?)p∈R. 很自然地我们想探究,是否由ε_(0,T)[α]=α均可以得到g(y,0,t)=0呢?答案是否定的,例题2.4以及定理2.5就得出了相应的结论。定理2.5我们还给出了基于数分知识和基于倒向随机微分方程比较定理的两种证明方法。这样我们就得到了g-期望与条件g-期望保常性的关系,进一步得到风险测度与条件风险测度保常性之间的关系。(上述结果已于2008年2月被《山东大学学报》(理学版)发表。)最后,还通过定理证明了g-期望作为一个非线性算子,不仅仅依赖于g,还依赖于T。 第三章考查的是倒向随机微分方程的g与价值过程。首先以一个简单例子的形式给出倒向随机微分方程为模型的投资策略过程。然后分别给出两种情况BSDE特例的解法:第一种为g=-[a_ty_t+b+tz_t]线性时,第二种为g(y_t,z_t,t)=a_t|z_t|简单非线性的情况。其中第一个例子,还用到Girsanov变换和对偶方程的两种方法,但结果是相同的。 作为结尾的第四章对前人的工作做了一个总结,列出了g、g-期望及风险测度等之间的关系。并且对g-期望的逆比较定理做了推广,将两项的结论推广到有限项,利用停时进行了证明。通过一个经典的动态凸风险测度的例子,以及风险测度的概率表示定理,具体地阐述了g-期望与风险测度的关系,从而进一步强化了g所在的函数空间与非线性数学期望所在的风险测度空间的联系。


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