基于不适定自共轭算子方程引入复参数的两种算法

【摘要】： 在现实生活中，不适定问题的应用非常广泛，例如图象处理，石油勘探等方面．通常对不适定问题的解法有Tikhnov，Landweber等解法．在本文中，针对一类特殊的不适定问题——不适定的自共轭线性紧算子方程提出了两种新解法，分别是引入复参数的解法和引入复参数的迭代法．针对不适定问题的求解通常涉及到三个问题：(1)可解性，即解的存在性．(2)解的唯一性．(3)解的稳定性．在本文中，对两种方法都讨论了其正则性和收敛阶数，论证了它们都是正则化方法，并在最后通过数值例子进行了验证． 首先，本文讨论的方程形式为Kx=y (0．1)及其扰动方程Kx=y~δ(0．2)的数值求解问题，其中K为无穷维的Hilbert空间X→X的自共轭线性紧算子，右端y~δ∈X满足条件：‖y~δ-y‖≤δ，δ0 (0．3) 在本文第二章中，引入了复参数解不适定自共轭算子方程的解法，其主要结论如下： 定理1设(μ_j，x_j)为自共轭紧算子K：X→X的奇异系统，由K的自共轭性知μ_j为实数，则由导出的算子是一个正则化算子． 定理2令x=Kz∈K(X)，且‖z‖≤E，选择α=(?)，则有下面的误差估计：其中x为Kx=y的精确解，x~(α(δ),δ)为(0．4)的解． 定理3设α0，x~α是(0．4)式的唯一解，则x~α连续的依赖y和α．映射α→‖x~α‖是单调非增的，而且lim_(α→∞)x~α=0，映射α→‖Kx~α-y‖是单调非减的，且有lim_(α→0)Kx~α=y，若Ky≠0，那么以上两个映射都是严格单调的． 定理4 K：X→X是线性，紧的且一一的自共轭算子，设Kx=y且x，y∈X，y~δ∈X满足‖y -y~δ‖≤δ‖y~δ‖.若(0．4)式的解x~(α(δ),δ)满足‖Kx~(α(δ),δ)- y~δ‖=δ,δ∈(0,δ_0)，则有(1)当δ→0时x~(α(δ),δ)→x，即停止法则是可行的．(2)若x = Kz∈K(X),‖z‖≤E．那么有‖x~(α(δ),δ) - x‖≤2(?)． 定理5 K：X→X为线性的，紧的且一一的自共轭算子，其中X为无穷维的空间，x∈X，连续函数α(δ)：[0，+∞)→[0，+∞)，α(0)=0，若有lim_(δ→0)‖x~(α(δ),δ)- x‖δ~(1/2)= 0，其中y~δ∈X且满足‖y~δ- Kx‖≤δ，这里x~(α(δ),δ)是(0．4)式的解，那么可得x=0． 在本文的第三章中，引入复参数迭代法，建立如下迭代格式：在本文中，重点讨论了以α为正则参数的情况．由(0．6)式可得其主要结论如下： 定理6 K：X→X为自共轭线性紧算子．R_α~m：X→X如上定义，则有‖R_α~m‖≤m/α，且当α的选取满足lim_(δ→0)α(δ)=0，δ/α(δ)→0(δ→0)时，R_α~m为K的正则化算子． 定理7 K：X→X是自共轭线性紧算子，R_α如上定义，设x∈X_(r,E),迭代步数m≥r，若选取α(δ)= (mδ/CrE)~(1/r+1)，那么有如下估计‖x_(α,δ)~m-x‖≤C_1~mδ~(r/r+1)E~(1/r+1)，其中C_1~m= m~(r/r+1)C~(1/r+1)(r~(1/r+1)+r~(-r/r+1))． 在本文的第四章，针对两种算法分别给出了数值例子，对两种算法给出的结论进行了验证．