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积分微分方程的区域分裂并行算法

王庆超  
【摘要】: 区域分裂方法是并行求解大型偏微分方程的有效方法,因为这种方法可以把大型计算问题分解成小型问题,从而简化了计算,上个世纪50年代,在并行机出现之前,区域分裂方法已经在串行机上得到了应用。现在,随着并行计算机和并行算法的发展,自上世纪80年代开始,区域分解算法开始蓬勃发展起来,现在高性能并行计算机已经广泛地应用于能源部门如核工业和实验、石油工业,生物,基因以及气象(天气预报及模拟)等等。 区域分裂方法通常用于以下两种情况:第一,可以通过区域分解的方法把大型问题转化为小型问题,实现问题的并行求解,缩短求解时间;第二,许多问题在不同的区域表现为不同的数学模型,那么可以在不同的区域对数学模型采取不同的方法进行求解,从而自然的引入区域分解方法,实现了并行计算。因为区域分解方法可以把大型问题分解成小型问题,复杂边值问题分解为简单边值问题,串行问题分解成并行问题,因此这种方法的研究十分活跃,具体方法也多种多样。 区域分裂算法是把计算区域分解成若干子域,于是原问题的求解转化为在域上求解,它的优越性表现在:第一,它把大问题化为若干小问题缩小计算规模;第二,允许使用局部拟一致网格,无需用整体拟一致网格,各子域可以用不同离散方法进行计算。这对于形态极不规则问题如锅炉燃烧问题有很大的灵活性;第三,允许不同子域选用不同的数学模型,以便整体模型适合于工程物理实际情况。如油、气藏模拟、气体绕飞体流动等;第四,算法是高度并行的,在各个子域内独立进行。 当用区域分裂方法来数值求解数学模型问题时,我们首先会根据问题的特性或问题求解区域的几何特点对区域进行划分,把整个求解区域划分为若干个子区域,然后在每个子区域上分别求解独立的子问题,实现并行计算。当求解抛物型偏微分方程时,一般情况下我们需要知道方程的初边值条件,但由于区域时认为划分的,那么对于子域而言,至少有一测度非零的边界条件是未知的,即相邻子区域相交内边界上的边界条件是未知的,我们的工作就是给出子区域的边界格式条件,或者虽然不能在求解子问题时明确给出子区域的内边界条件,但是在算法的求解过程中给出子区域相交内边界条件。 显隐格式区域分裂方法就是以显式的格式给出相邻子区域间相交陡边界的边界条件的一种方法。我们知道,如果采用显示方法来求解问题,那么方法可以自然实现并行。但是由于显格式式条件稳定的,对于迭代步长有限制条件,增加了迭代步骤,从而使得计算机求解时间增长,因此一般在求解抛物方程时,普遍会采用隐式方法,隐式方法绝对稳定,对时间没有限制条件,但是在每一步计算时,都要求解一个大型方程组,当剖分加细时,方程组随之变大,求解这样一个方程组耗时较长,从而影响了计算时间。显隐格式区域分裂方法综合了二者的优点,借助前一层数值解的信息,给出在这一层的子问题的未知边界条件,把一个整体区域上的问题化为若干个子区域上的子问题,在每个子区域上用隐式方法求解,从而实现了并行。从计算角度而言,就是把一个整体的大型方程组分解成若干个小型方程组实现了并行。由于给出子区域间内边界条件的方法利用了前层数值解的信息,具有显性性质,导致了算法需要一个稳定性条件,但这个稳定性条件没有显式方法那么严格。 关于显隐格式区域分解方法,前入已经做了很多工作。Dawson,Q.Du和Dupont在文献[3]中采用显隐格式区域分解有限元差分方法,由显式向前差分格式给出子区域间内边界条件,得到了最优阶的ι~∞模误差估计。基于这种方法,Q.Du等人在文献[9]采用一种高效显隐格式区域分解方法,用多层显格式给出内边界条件,最终得到最优的ι~∞模误差估计。Dawson和Dupont在文献[1]中采用了显隐格式区域分裂方法,定义了一个函数,用这个函数给出了区域间内边界条件,得到了L~2模误差估计。在此基础上,Dawson和Dupont在文献[10]中采用了基于中心显隐格式有限差分区域分裂方法,得到了ι~2模误差估计。 本文共分为两部分,第一章为预备知识,第二章研究积分微分方程区域分裂方法,内边界上的函数值由上一层函数值得到,实现算法的并行,误差估计上采用了新的方法,定义一个新的包含边界信息的算子,从而删去了原来误差估计中的H~(1/2),得到了最优估计。


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