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分形的控制与应用

张永平  
【摘要】: 分形是现代数学和非线性科学研究中一个十分活跃的分支,特别是关于混沌运动的几何语言。由于世界的本质是非线性的,而混沌现象又是四处可见的,因此分形几何的应用领域非常广泛,是当前研究的一个热点。 Julia集与Mandelbrot集是分形理论中两个具有重要地位的集合。利用复变函数理论和计算机制图相结合的方法,已发现Julia集与Mandelbrot集深藏着精细而复杂的结构,这使得它们在物理学、生物学等领域中有着广泛的应用,如经典的Langevin问题、分形力学、分形蛋白等问题的研究与应用。 值得注意的是,非线性系统的Julia集是系统的一个重要的非线性特征。根据客观要求,往往需要制约非线性吸引域的区域大小;根据技术问题的实际要求,有时需要系统表现不同或近似的行为和性能。因此对于非线性系统的Julia集的有效控制就显得十分重要。但到目前为止遗憾的是,对于分形Julia集的研究仅仅涉及到它的图形的制作问题,而对于Julia集的有效控制是目前还没有涉及的一个全新的研究领域。 本文首次将控制与同步的思想和方法引入到分形当中,并提出了不同系统的Julia集同步和广义同步的概念。在空间Julia集的研究中也得到了一系列结果。具体地, 1.采用辅助参考反馈控制、梯度控制等方法对几种典型的函数的Julia集与Manddbrot集进行了有效的控制,如多项式函数、指数函数等; 2.首次给出了两个系统的Julia集同步与广义同步的概念,并采用非线性耦合、梯度同步、最优函数等方法实现了各种典型的函数的Julia集的同步与广义同步,如多项式函数、三角函数等; 3.以二维复Henon映射系统为模型,对空间Julia集进行了初步刻画并采用反馈控制、梯度控制、最优函数等方法实现了空间Julia集的控制与同步。 由于Julia集也是相应系统的吸引不动点的吸引域的边界,因此也实现了对系统的不动点的吸引域的控制以及不同系统间的吸引域的同步,从而进一步对系统的稳定性进行了研究与刻画,同时也丰富了分形的理论内容。


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