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几类代数结构的模糊理论

陈文娟  
【摘要】: 模糊代数是模糊数学中最为活跃的研究方向之一.自从Rosenfeld[50]把模糊子集的概念应用到群论之后,众多的数学家致力于扩充抽象代数中的概念和结果以得到更广阔的模糊背景.模糊代数的研究涉及到代数分支的方方面面,例如模糊群论,模糊环论,模糊表示论,模糊同调等.一个基本原则是:一个代数系统R的模糊子集μ是R的模糊子系统当且仅当水平截集μ_t={x∈R:μ(x)≥t,对0≤t≤1}是R的子系统.由此,我们可以通过模糊子系统来研究R的子系统,也可以根据子系统的性质刻画模糊子集.本文在遵循此原则的基础上,在模糊代数中引入李超代数,建立模糊李超代数的理论框架;考虑到Hopf代数和量子群是李理论的推广,在模糊代数中引入余代数,尝试构建模糊量子群的理论结构;而且在模糊理论里介绍余模这个新的代数对象,进而研究模糊余模的性质. 本文的主要结论是:提出了模糊李超代数的概念,研究了李超代数的模糊子代数和模糊理想的性质;提出模糊余代数的定义,研究了模糊子余代数、模糊(左/右)余理想的性质,讨论了模糊子余代数、模糊(左/右)余理想与模糊子代数、模糊(左/右)理想间的关系;最后引入了模糊余模的概念,刻画了模糊子余模的性质. 第一章为引言和预备知识.首先概述了模糊代数的提出、发展和研究近况,给出了研究本文的可行性和必然性;其次介绍了模糊子集的基本性质和扩张原理. 第二章首先根据Z_2-分次向量空间,定义了Z_2-分次模糊向量子空间,在此基础上,提出了模糊李子超代数和模糊理想的概念,得到定理2.2.6的刻画:李超代数(?)的模糊子集μ是模糊李子超代数(或模糊理想)当且仅当水平截集μ_t={x∈(?):μ(x)≥t对0≤t≤μ(0))是(?)的李子超代数(或理想).研究模糊李子超代数和模糊理想的基本性质,证明了模糊李子超代数和模糊理想是李代数的模糊子代数和模糊理想的推广. 其次利用模糊理想定义了模糊商李超代数,证明模糊商李超代数是李超代数.因此,可以研究模糊商李超代数的模糊子集,得出定理2.3.7的结论.在考虑商李超代数的模糊理论得到定理2.4.1之后,定义了模糊李子超代数的模糊理想,研究了这类模糊理想的基本性质,得到定理2.4.3,定理2.4.4,定理2.4.5和定理2.4.6. 李超代数同态是研究李超代数之间关系的一个基本定义,利用李超代数同态讨论模糊李子超代数和模糊理想间的性质是本章第5节的主要工作.主要结果包括命题2.5.2,命题2.5.3和命题2.5.4.结合前面第4节的工作,进一步给出定理2.5.7,定理2.5.8,定理2.5.9和定理2.5.10. 最后主要研究李超代数上两类特殊的模糊理想:可解模糊理想和幂零模糊理想.首先定义李超代数上的sup-min积[,].Yehia[58]指出在李代数时,sup-min积具有如下的性质:[μ,ν_1+ν_2](?)[μ,ν_1]+[μ,ν_2].定理2.6.4证明在李超代数上sup-min积[,]保持双线性性.这个结论在李代数也是成立的. 定理2.6.4设μ_1,μ_2,ν_1,ν_2和μ,ν是(?)的模糊向量子空间.则对任意的α,β∈k,有 为了定义可解模糊理想和幂零模糊理想,定理2.6.8证明模糊理想关于sup-min积是封闭的. 定理2.6.8设μ,ν是(?)的任意两个模糊理想,则[μ,ν]是(?)的模糊理想. 第6节最后,给出可解模糊理想和幂零模糊理想的定义,研究了可解模糊理想和幂零模糊理想的基本性质,刻画了李超代数的可解模糊理想和它的偶部分的可解模糊理想之间的关系,并且证明在模糊超Jacobi恒等的条件下,李超代数上的模糊理想做成的集合具有李超代数结构.主要结果包括命题2.6.13,定理2.6.15,定理2.6.16,定理2.6.19和定理2.6.20. 第三章首先要求△(c)的分解是唯一的,在此条件下,定义模糊子余代数,模糊左(右)余理想,模糊余理想,利用水平截集和强水平截集给出模糊子余代数的等价刻画,得到定理3.2.3.相应的模糊左(右)余理想和模糊余理想等价定义见定理3.2.7和定理3.2.11.注记3.2.8(2)的结论比余代数的相应的结果更容易得到. 其次研究在余代数同态下模糊子余代数,模糊左(右)余理想和模糊余理想的基本性质,得到命题3.3.2和命题3.3.3. 最后研究模糊子余代数,模糊左(右)余理想和模糊余理想的对偶情形,同时也研究了模糊子代数、模糊左(右)理想和模糊理想的对偶.对于后者,分有限维和无限维两种情况研究.主要结果是: 命题3.4.3(1)设μ是余代数C的模糊子余代数,则μ~*是C~*的模糊理想. (2)设μ是余代数C的模糊余理想,则μ~*是C~*的模糊子代数. (3)设μ是余代数C的模糊左(右)余理想,则μ~*是C~*的模糊左(右)理想. 命题3.4.4(1)设μ是有限维代数A的模糊理想,则μ~*是A~*的模糊子余代数. (2)设μ是有限维代数A的模糊左(右)理想,则μ~*是A~*的模糊左(右)余理想. 命题3.4.7(1)设μ是代数A的模糊理想,则μ~°是A~°的模糊子余代数. (2)设μ是代数A的模糊左(右)理想,则μ~°是A~°的模糊左(右)余理想. 作为上述研究的一个应用,讨论了模糊同态得到命题3.4.11和命题3.4.12. 第四章首先根据模的定义调整模糊子模的定义,然后定义了模糊子余模,研究了模糊子余模的基本性质,得到定理4.2.5,定理4.2.6和定理4.2.7. 其次证明在余模同态下模糊子余模的性质,得到定理4.3.3和定理4.3.4. 最后定义投射模糊子余模和内射模糊子余模,研究投射模糊子余模和内射模糊子余模的充要条件.主要结果如下: 定理4.4.3.(1)(P,μ)是投射模糊子余模当且仅当P是投射余模且μ=l_0. (2)(I,μ)是内射模糊子余模当且仅当I是内射余模且μ=1.(1(x)=1,对任意的x∈I.)


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