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几类特殊平面图的全染色

谢波  
【摘要】: 图的染色问题,是图论的主要研究问题之一.图的染色一般分为边染色、点染色、全染色以及其它特定染色.本文讨论了平面图的全染色问题,证明了四个主要结论. 本文讨论的图均为简单无向有限的平面图.对于一个图G=G(V(G),E(G),(?)_G),V(G),E(G)分别表示其顶点集合和边的集合,(?)_G为点和边的关联函数.对于顶点v∈V(G),我们用d(v)表示其度数,△(G)和δ(G)分别表示G中顶点的最大度和最小度,简记为△和δ.在图论符号中我们常略去字母G分别用V,E,v和ε代替V(G),E(G),v(G),ε(G). 若图G可以表示在平面上,并且任两条边仅在其端点处才可能相交,则称G是可平面图.图G的这种平面上的表示方法称为G的一个平面嵌入,或称平面图.一个平面图G把平面划分成若干个连通区域,这些区域的闭包称为G的面,图G所有的面构成的集合记为F.一个面f∈F所关联的边的个数(割边计算两次)称为面f的度,用d(f)或r(f)表示.若G的两个面有一条公共边,则称这两个面相邻.如果G是连通的平面图,则有|V|-|E|+|F|=2(Euler公式). 根据一定的规则将一组目标划分为不同的种类,这是数学中的一个基本方法.不同的规则决定着该组中任意一对目标是否在同一个类中.图的染色理论就是研究这类问题的一门理论,它有着相当广泛的应用背景.各种形式的日程表问题、时间表问题以及排序问题,从根本上来说都可以归结为染色问题. 图G的全k染色是指至多用七种颜色,对G的顶点和边同时染色,使得相邻的两个元素(点和点,边和边,点和边)染以不同的颜色.图G的全色数x_T(G)是指G的全k染色中最小的正整数k.如果一个图G的全色数x_T(G)=△(G)+1,则称G为第一类图.对于G的全色数x_T(G)已有的结果可以总结为: (1)对△(G)≠6的平面图,有x_T(G)≤△(G)+2; (2)对△(G)≥9的平面图,有x_T(G)=△(G)+1. 本文讨论了几类特殊平面图的全染色.全文共分三章,第一章介绍了图论中的一些基本概念,综述了当前全染色理论的主要研究成果和本文的一些主要结果.在第二章中对3-圈至多与一个k(k=3,4,5)圈相邻的平面图的全染色得到的结论为: (1)3-圈至多与两个k(k=3,4,5)圈相邻的平面图,全染色猜想成立.另外,在第三章中给出了第一类平面图的几个充分条件: (2)设G为△(G)=6,任意两个4-圈不相邻,且无3-圈的平面图,那么X_T(G)=△(G)+1. (3)设G为△(G)=7,4-圈不与k(k=3,4)圈相邻,且每点至多关联两个3-圈的平面图,那么X_T(G)=△(G)+1. (4)设G为△(G)=8,3-圈至多与两个k(k=3,4,5)圈相邻的平面图,那么X_T(G)=△(G)+1.


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