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耦合扩张映射与混沌

张旭  
【摘要】: 在离散动力系统混沌理论的发展过程中,A.Sharkovskii的令人惊讶的发现[46]与T.Li和J.Yorke引入混沌概念的著名工作[28]极大促进了混沌理论的研究.在此之后,出于对问题的研究角度的不同,人们逐渐提出了一些新的混沌定义,比如Devaney混沌[12],Wiggins混沌[60,15]等等.人们开始研究满足什么条件的映射是在Li-Yorke或者Devaney意义下混沌,即建立某种意义下混沌的判定定理,并探讨各种混沌定义之间的联系与差异.对于连续区间映射,即从区间到自身的连续映射,已得到了一些很好的结果,如拓扑传递性可以导致Devaney意义下混沌[58];正的拓扑熵与Devaney意义下混沌等价[27],同时能够导致Li-Yorke意义下混沌[15];在特定条件下,零拓扑熵可以导致Li-Yorke意义下混沌[54].所以,对区间映射而言,Devaney意义下混沌强于Li-Yorke意义下混沌.例如,黄文和叶向东证明了在一定条件之下紧度量空间上Devaney意义下混沌蕴含Li-Yorke意义下混沌[22].对于紧空间上的连续满射,F.Blanchard等人证明了正的拓扑熵可导致Li-Yorke意义下混沌[6]. 在离散动力系统理论的研究过程中,耦合扩张映射(coupled-expandingmap,又称马蹄映射)曾经被许多数学家用不同的方法研究过.对连续区间映射,M.Misiurewicz证明了:对于具有正拓扑熵的区间映射,存在有限次正向迭代使得迭代后的映射是严格耦合扩张,并且这种获得严格耦合扩张的迭代方式有无限多种[33].L.Block,J.Guckenheimer,M.Misiurewicz和L.Young证明了广义A—耦合扩张连续区间映射的拓扑熵是不小于矩阵A的最大特征值的对数值[8].L.Block与W.Coppel在研究连续区间映射的过程中引入了turbulent map的概念(即后来改称的耦合扩张映射),并详细讨论了这种映射与周期点、拓扑熵、符号动力系统、混沌等诸多概念之间的联系[7].对于连续区间映射,S.Ruette系统地总结了混沌研究的重要结果,其中包括许多关于耦合扩张映射的讨论[45].史玉明和陈关荣证明了在完备度量空间中有界闭集或度量空间紧集上的严格耦合扩张映射在距离扩张的条件下与单边符号动力系统拓扑共轭[47].这些重要的研究工作都极大地加深了人们对于这类映射的性质的认识.度量空间上耦合扩张映射的概念是由史玉明和陈关荣提出的[49].最近,这个概念被推广到了关于转移矩阵的耦合扩张[50].为了叙述上的方便,我们统一采用这个概念.值得一提的是,耦合扩张理论可以应用到由返回扩张不动点所导出的混沌动力学行为的研究中去.返回扩张不动点最早是由F.Marotto提出并研究的[31].对一般返回扩张不动点理论的研究及推广,读者可以参考文献[47,48,51,52].在动力系统理论中,系统结构稳定性的研究一直被许多数学家所关注.动力系统起源于H.Poincare对天体运行问题的研究[39,40].之后,在1892年,A.Liapunov提出了著名的Liapunov第一和第二方法,其中第二方法对研究微分方程的稳定性问题产生了深远的影响[29].后来,G.Birkhoff发展了H.Poincare的思想[5].微分动力系统所研究的主要对象是光滑流形上的微分同胚.称一个定义在光滑流形上的微分同胚是结构稳定的,如果存在这个同胚的C~1拓扑邻域,使得在这个邻域中的微分同胚都与给定的微分同胚拓扑共轭.这个概念最早是由A.Andronov和L.Pontrjagin在1937年给出的(但他们最初没有使用“结构稳定”这个名字)[2].“结构稳定”这个名字是S.Lefschetz在翻译A.Andronov和S.Khaikin的俄文著作时引入的[1].M.Peixoto将A.Andronov和L.Pontrjagin的工作[2]进行了推广[37,38].S.Smale在研究高维微分同胚的过程中提出了著名的公理A系统[53].J.Palis和S.Smale猜测公理A系统再加上强横截性条件与系统结构稳定是等价的[36].在J.Robbin,C.Ronbinson,R.Ma(?)e,S.Hayashi,和S.Hu等人的工作基础上,这个猜想已经得到了证实[18,21,30,41,42,43]. 研究混沌动力系统的扰动问题或结构稳定问题是非常有意义的.实际应用中的系统会受到许多外界因素的干扰.如果系统结构不稳定,在实际应用中系统的运行轨迹就可能和理论结果相差很大.一个有意义的问题是:A—耦合扩张映射在经过微小扰动之后是否仍然为A—耦合扩张映射、是否仍然是混沌的?目前还没有文献对这个问题进行研究.本文对混沌的A—耦合扩张映射的扰动问题进行了初步探讨. 目前,飞速发展的混沌研究逐渐影响到了许多学科的发展.混沌理论已变成了动力系统的一个重要的分支[60].在物理学中,混沌被应用于解释许多复杂的物理现象,比如流体的运动[14],行星的运动轨迹[34],等等.在化学的研究中,化学物质的反应量可以应用混沌理论来分析[56].工程中,混沌的控制[10]和混沌反控制[11]构成了混沌控制的两个主要研究方向;一维混沌映射常被作为随机数生成器[57],应用于扩展频谱通信(spread-spectrumcommunications)[25],图象编码[4]和数据加密[23].因此,研究混沌映射的构造方法具有很高的应用价值.由于多项式的表达式比较简单,所以它们在应用中比较方便.D.Dubois给出了一类一维任意次数的混沌多项式映射[13].本文将利用耦合扩张理论给出混沌多项式映射的几种构造方法. 本文主要讨论三个方面的问题:一是讨论在什么条件下严格A—耦合扩张映射可以导致混沌;二是耦合扩张映射的扰动问题;三是构造混沌多项式映射.针对这三个问题,全文分为三章. 第一章主要研究了定义在完备度量空间或者度量空间紧子集上的严格A—耦合扩张映射,其中A是不可约转移矩阵且某一行元素之和不小于2.第二节对矩阵A进行详细讨论,得到了一个关于符号动力系统的新结果.最近,史玉明、陈关荣、郁培等人利用符号动力系统建立了几个关于严格耦合扩张映射的混沌判定定理,如(1)定义在完备度量空间中有界非空闭集上的严格耦合扩张映射在一定条件下是在Li-Yorke和Wiggins意义下混沌[51,Theorem 3.1];进一步,如果耦合扩张映射在其中某个闭集上按距离扩张,则映射在Li-Yorke和Devaney意义下混沌[51,Theorem 3.2];(2)对于度量空间中紧子集上的严格A—耦合扩张映射,如果映射在每个紧子集上按距离扩张,则映射在Li-Yorke和Devaney意义下混沌[50,Theorem 5.2];(3)定义在完备度量空间中非空有界闭集上的满足特定条件的严格A—耦合扩张映射是在Li-Yorke和Devaney意义下混沌[50,Theorem 5.6].在前人工作的基础上,我们在第一章第三节对严格耦合扩张进行了深入讨论,将上述结果进行了推广,减弱了相关的条件,即(1)定理1.3.1和1.3.2证明了对一般的严格A—耦合扩张映射文献[51]中定理3.1和3.2中的相应结论仍成立(参见注1.3.1和1.3.3);(2)定理1.3.2减弱了文献[50]定理5.2中要求映射在每个紧子集上按距离扩张这个条件(参见注1.3.3);(3)定理1.3.3将文献[50]定理5.6中关于特殊的转移矩阵的耦合扩张映射的结果推广到关于更一般的转移矩阵的耦合扩张映射(参见注1.3.4).L.Block与W.Coppel证明了如果连续区间映射是在两个非退化紧区间上的严格耦合扩张,则此映射在一个紧的不可数的不变集上与两个符号的全转移拓扑半共轭[7,ChapterⅡ,Proposition 15].S.Ruette进一步证明了该映射是混合的,对初始条件敏感依赖,并且具有稠密周期点[45,Proposition 6.1.3].我们在第一章第四节讨论了紧区间上的严格A—耦合扩张映射,得到的命题1.4.1和命题1.4.2推广了Block与Coppel和Ruette的上述结果(参见注1.4.1和1.4.3).另外,该节所得定理1.4.2将杨晓松和唐云的结果[61,Theorem 1]推广到度量空间中紧子集上的严格A—耦合扩张映射(参见注1.4.4).为了说明第三节中得到的结论,第五节讨论了一个具体的例子并给出计算机仿真验证. 在第二章中,我们主要研究欧氏空间中严格A—耦合扩张映射的C~r扰动问题,其中r=0或者1,A是不可约转移矩阵且某一行元素之和不小于2.在第三节,证明了一类满足特定条件的严格A—耦合扩张映射在C~1小扰动后仍然在Li-Yorke意义下混沌.证明了两类定义在欧氏空间中局部凸紧集上的严格A—耦合扩张映射在C~1小扰动后仍然在Li-Yorke和Devany意义下混沌.另外,还证明了两类严格A—耦合扩张映射在其混沌不变集上是C~1结构稳定的.在第四节中,应用Brouwer度理论,证明了一类严格A—耦合扩张映射在C~0扰动后仍然在Li-Yorke意义下混沌.第五节讨论了一个平面映射的例子以说明第四节所得到的结果. 在第三章中,我们使用耦合扩张理论构造了几类混沌多项式映射,并证明了得到的映射是在Li-Yorke和Devaney意义下混沌.在第三节中,应用耦合扩张理论,建立了在给定的实系数多项式前面乘上满足某些条件的二次多项式可以构造出在Li-Yorke和Devaney意义下混沌的多项式映射的方法;证明了在具有两个不同的非负实零点或者两个非正实零点的实系数多项式的前面乘上满足某些条件的参数可以使映射在Li-Yorke和Devaney意义下混沌.所得定理3.3.1在相对弱的条件下得到了文献[62]中定理3.1的部分结果(参见注3.3.1);所得定理3.3.2推广了文献[62]中定理4.1的结果(参见注3.3.3).第四节应用插值的方法构造多项式来逼近一类满足某些特定条件的混沌映射,证明了当逼近误差足够小时所构造的多项式映射是在Li-Yorke和Devaney意义下混沌.第五节对一类具体的混沌映射进行了讨论,并给出了所构造映射的分支图,以此说明所构造混沌映射具有复杂的动力学行为.


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