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粗信息矩阵的数量特征及其应用

郝秀梅  
【摘要】: 在科学技术和经济管理领域中,人们经常会接收到各种各样的信息,但有的信息是粗糙的,这类信息我们称之为粗信息.该类信息是不能用精确的集合来表示的,这样就对人们认识和开发使用该类信息造成了严重的影响,从而丧失了可利用的重要信息资源.为了处理具有信息不确定性、不精确、不完善的系统,波兰数学家Z.Pawlak教授于1982年提出了一种新的数学理论——粗糙集理论,粗糙集是把一个不可定义的集合X用上、下近似来定义,Z.Pawlak粗糙集的一般性研究工作为系统理论奠定了理论基础并获得了广泛的应用与研究.但在实际问题中往往遇到的信息由于受到多种因素的影响而变动.因此Z.Pawlak粗集在解决某些问题时受到了一定的限制.2002年史开泉教授改进了Z.Pawlak粗糙集,提出奇异粗集(Singular rough sets),简称S-粗集,2005年改进了S-粗集,提出函数S-粗集,并分别将它用于知识、规律挖掘中.本文利用已有的研究,将粗集理论、S-粗集理论、矩阵理论与粗系统信息挖掘、识别相嫁接,给出一系列新的研究与应用. 本文所讨论的内容是基于Z.Pawlak粗糙集、S-粗集理论、矩阵理论、模糊集理论的框架体系下展开讨论的.一方面,提出粗信息矩阵、粗粒度矩阵,在此基础上进行广泛而较深入的研究,所得到的内容都是新的;另一方面,借助已有的粗相似度,提出了粗相似度矩阵,讨论了粗相似度矩阵的有关性质及定理.同时,论文又介绍并讨论了函数S-粗集的结构特征并给出函数S-粗集对偶这种单规律的属性特征及控制准则,并给出基于该粗集下的金融风险投资决策规律分析.最后提出了属性模糊集的概念,讨论了属性模糊集的特征,给出了属性模糊集的分解定理.本论文各章的具体内容概括如下: 第一章介绍了粗糙集理论的发展概况、研究现状与前景展望,根据粗糙集的目前研究现状与前景的预测方向分析,重点选择对粗糙集的理论进行完善这一方向作为本文的重点研究内容,兼顾到后续论文研究内容的需要,简要介绍了Z.Pawlak粗集与它的结构特征、知识的数值特征等基本概念与理论,为后面章节的研究奠定了必要的基础. 第二章主要研究知识挖掘的数量特征及挖掘的一系列准则与定理.给出了k阶f知识、k阶(?)知识、知识挖掘度的概念;讨论了知识挖掘的链式特征并给出了f、(?)知识挖掘基数链定理,f、(?)知识挖掘粒度链定理,f、(?)知识挖掘过滤度链定理,f、(?)知识挖掘度链定理,并给出了知识粒度与知识挖掘度关系原理的应用.给出f、(?)知识最小、最大挖掘度定理。另外,本文根据单向S-粗集中的知识具有阶梯特征,利用知识的阶梯特性,能够找到人们事先不知道的知识;从知识依赖的另一个角度挖掘所需要的知识,给出了知识的阶梯度,利用阶梯度,直接挖掘所需要的知识。本文给出了F-阶梯知识对的F-阶梯度依赖-分辨定理、F-阶梯知识对的F-阶梯度依赖-不可分辨定理、最大F-阶梯知识的挖掘-发现定理、阶梯知识第一、第二挖掘-发现准则等,如定理2.4.3和定理2.4.4,2.4.5,并给出具体应用。讨论最小F-阶梯知识的挖掘-发现定理:若{([X°]_(F,K),[X°]_K~F|k=1,2,…,m)是F-阶梯知识[X°]_(F,k)与F-阶梯知识[X°]_K~F构成的F-阶梯知识对集合;则存在([X°]_(F,p),[X°]_P~F),p∈(1,2,…,m),满足LAD([X°]_(F,p))=(?){LAD([X°]_(F,i));LAD([X°]_p~F)=(?){LAD([X°]_i~F)};GRD([X°]_(F,p)≤GRD([X°]_(F,i))_(i=1,2,…m);GRD([X°]_p~F)≤GRD([X°]_i~F)_(i=1,2,…m)。 基于在经典系统中的一个系统具有的特征可以从研究系统的系统矩阵中获取,因此提出如下问题:由粗集生成的粗系统,粗系统的特征是否也可以从研究粗系统的系统粗矩阵中获取?第三章正是基于这种考虑提出粗信息矩阵,即由M_α(X)_-,M_α(X)~-构成的矩阵对(M_α(X)_-,M_α(X)~-),称作粗集(X_(ij-,X_(ij)~-)生成的粗信息矩阵。讨论了信息矩阵存在性定理、粗信息矩阵存在性定理。 在定义了信息矩阵的包含、相等以及和粗信息矩阵、积粗信息矩阵(∪,∩,~)运算的基础上,研究了粗信息矩阵的性质(性质3.2.1-性质3.2.8)。得到了粗信息矩阵的粗集生成原理。从讨论我们可以看出,粗信息矩阵中的每个元素是一个序对,是满足二元属性的粗集,从而不仅推广了普通数域上的矩阵理论,而且推广了经典的Z.Pawlak粗集,同时得到了一系列满足不同二元属性的粗糙集。也就是说,不仅从粗集个数方面得到推广,而且从维数方面得到更一般的粗集,为以后人们处理经济、管理问题、从大量的数据中提出有用的知识提供了一个很好的理论依据。 在静态粗信息矩阵的基础上,受S-粗集研究问题的思路启发,本文给出粗信息矩阵的三种形式。提出并讨论了粗信息矩阵的粒度矩阵的特征,即由G(X)_-=(g_(ij-))_(m×n)G(X)~-=(g_(ij)~-)_(m×n)构成的矩阵对(G(X)_~-,G(X)~-)称作X(?)U的粗信息粒度矩阵(rough information granulation matrix),记作G=(G(X)_-,G(X)~-)。定义了下粗粒度和(积、余)矩阵、上粗粒度和(积、余)矩阵、粗粒度和(积、余)矩阵的运算,研究了其运算的性质。给出了粗粒度矩阵满足的运算律,详细内容参见§3.5。 其次,研究了粗信息矩阵与粗粒度矩阵的关系定理,即粗信息矩阵的包含对应着粗粒度矩阵的包含;定义了粗信息粒度矩阵的和与积运算,讨论了粗信息粒度矩阵、单向S-粗信息粒度矩阵、单向S-对偶粗信息粒度矩阵的关系,得到了一系列重要的定理。 最后给出了粗信息精度向量,得到了信息向量可定义与不可定义的充要条件。如定理3.8.6:设β=(α_1(X_(11)),α_2(X_(12)),…,α_n(X_(1n)))为粗信息向量((X_(11-),X_(11)~-),(X_(12-),X_(12)~-),…,(X_(1n-),X_(1n)~-))的精度矩阵,则所有的X_(1j),是可定义的充要条件是向量β为基本单位向量组ε_1,ε_2,…,ε_n的线性组合,且组合系数为1。 第四章进一步讨论粗信息矩阵的数量特征,提出粗信息向量的粗相似度矩阵,并研究了它的基本性质及结构。讨论了粗相似度矩阵与实二次型、正定矩阵、半正定矩阵的关系定理。 第五章介绍了函数单向S-粗集对偶与函数粗集,讨论了规律属性的萎缩特征,研究了规律的属性控制与识别相关定理及准则,给出了函数单向S-粗集对偶在金融风险识别中的应用。 第六章模糊集(Fuzzy Sets)理论是Zadeh教授1965年提出的,它是研究不确定性理论的一种精确的数学方法。联系模糊集与经典集合的桥梁是模糊分解定理,该定理揭示了模糊集的结构,一个模糊集是由若干个子模糊集叠加而成,而每个子模糊集就是λ∈[0,1]与经典集A_λ(λ的截集)的数积,如果我们引入属性模糊集,那么属性模糊集的属性分解情况如何?它具有那些特性?与我们熟知的模糊分解定理的关系怎样?这些问题,在文献中很少见。基于此,本章提出了属性模糊集的概念,给出它的属性分解定理,并且,当存在属性迁移时,给出了属性模糊集的属性链式定理,回答了属性分解定理与分解定理的一致性。 论文的主要创新点: 创新点1.建立了.f、(?)不同阶知识的最小、最大挖掘度及一系列挖掘准则与定理.给出F-阶梯知识对的挖掘发现准则,(?)隐藏知识依赖、发现的原理. 创新点2.提出粗信息矩阵,建立了静态、动态粗信息矩阵,粗粒度矩阵的相关理论与结构特征的讨论,给出了一系列重要的性质与定理.为粗系统理论的深入细致的研究奠定了很好的基础.整个论文的第三章内容与结论都是新的. 创新点3.提出粗相似矩阵的概念,并对该部分内容进行了详细细致的研究.完善了相似度理论,能够融合知识内容,将粗相似度矩阵与实二型结合进行讨论,有一定的理论意义与实用价值. 创新点4.研究了属性规律的特征,结合函数S-粗集讨论了属性控制与识别相关定理与准则,为规律挖掘提供了理论保证. 创新点5.提出属性模糊集的概念,将模糊集的重要定理与粗糙集的属性进行一定程度上嫁接渗透研究.


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