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发展方程的并行GALERKIN区域分解方法

马克颖  
【摘要】: 众所周知,工程中许多实际问题都可以归结为求解大型偏微分方程,如油藏模拟[1]-[3],环境工程[4,5],空气动力学[6],半导体器件[7],等等.以区域分解为基础的并行算法是求解大型偏微分方程的有效途径,例如[8]-[21].这种方法可以把大型计算问题分解为若干小问题,简化了计算.自上个世纪50年代以来,在并行计算机诞生之前,区域分解方法就已经在串行计算机上得到了应用.伴随着并行计算机和并行算法的发展,上个世纪80年代后,区域分解方法开始蓬勃发展起来.现在,高性能并行计算机已经广泛地应用于能源、生物、天气预报与模拟等领域. 区域分解方法分为两类:重叠型区域分解方法和非重叠区域分解方法.子区域的选择主要考虑问题的特性以及求解区域的几何特点.尤其是后者,特别适用于在不同物理子区域上有不同控制方程的复合问题.非重叠区域分解方法实现起来比较直观易用,但它的理论分析较难.本文研究的重点就是非重叠区域分解方法. 区域分解方法具有许多其他标准方法无以比拟的优越性:(i)它把大型的问题转化为若干小型问题,缩小了计算的规模.(ii)各子区域上的计算可以是并行的,缩短了计算的时间.(iii)允许在不同的子区域上选用不同的数学模型,从而使整体模型更适合于问题的实际背景.(iv)允许使用局部拟一致网格,无需采用整体拟一致网格,甚至各子区域上可以采用不同的离散方法进行计算. 当用区域分解方法来数值求解问题时,首先要根据问题的特性或求解区域的几何特点,把整个求解区域分解为若干个子区域,也就是说,一个问题分成了若干小问题;然后在每个子区域上分别求解独立的子问题,实现并行计算.我们知道,求解发展方程时,一般情况下需要知道方程的初边值条件.但是,由于子区域是人为划分出来的,那么对一个子区域而言,至少会有一部分边界上的边界条件是未知的,即相邻子区域相交内边界上的边界条件是未知的.因此,构建一个区域分解方法,一个首要任务就是要给出子区域间内边界条件,或者虽然不能明确给出子区域间内边界条件,但在算法的求解过程中给出这些条件. 在众多的区域分解方法中,显/隐格式区域分解方法是一种以显格式给出相邻子区域相交内边界的边界条件、用隐格式计算子区域问题的方法.用显式方法求解问题,可以自然实现并行计算.但由于显格式是条件稳定的,对时间步长有限制条件,增加了迭代步骤,使得求解时间增加.相反,隐格式是绝对稳定的,对时间步长没有条件限制.但在每一个时间步上,都要求解一个大型的整体方程组;而且当剖分加细时,此方程组的规模随之增大,求解这样一个方程组耗时较长,难度增大.显/隐格式区域分解方法综合了二者的优点:它用前一层数值解的信息,显式地给出当前时间层的子区域间内边界条件,把一个整体区域上的问题化为若干个子区域上的子问题,而在每个子区域上用隐格式求解,从而实现了并行计算.由于是利用了前层数值解的信息显式给出了当前时间层的子区域间内边界条件,导致了算法仍然需要一个稳定条件,但它没有显式方法那么严格. 对于显/隐格式区域分解方法,前人已有许多工作.在文献[22]中,Dawson和合作者研究了抛物方程的显/隐格式区域分解有限差分方法,由显式向前差分格式给出了子区域间内边界条件,得到了最优阶的l~∞模误差估计.基于此方法,Q.Du等人在文献[23]中采用了一种高效的显/隐格式区域分解差分方法,用多层显格式给出了内边界条件,最终得到了最优阶的l~∞模误差估计.与文献[22]相比,[23]中的算法计算效率更高. 在文献[24]中,Dawson和Dupont研究了抛物方程的显/隐保守Galerkin区域分解方法.他们在各子区域上用隐式Galerkin方法,通过定义的一个加权函数显式地给出了子区域间内边界条件(数值流).这种方法不仅在子区域内部而且在内边界上都是保守的.由于是显式给出了当前层的子区域间内边界条件,导致了算法仍然需要一个稳定条件,但它没有显式方法那么严格.他们获得了一个以椭圆投影误差表示的先验估计界,而不是以网格剖分参数h的逼近阶的形式.实际上,这个估计界并不是最优的,它在空间上损失了H~(-1/2)因子.在文章中,作者指出了对于一些特殊的情况,可以用文献[26]中的方法避免上述的损失,但未在文章中加以证明.Dawson-Dupont的格式考虑的是矩形域上特殊形式的抛物型方程,其二阶椭圆项为(?)·(a(x)(?)u),a(x)为空间区域上的函数.因此,该格式在推广到一般形区域上一般形式的PDE上存在困难. 在导师羊丹平教授的精心指导下,作者完成了这篇博士学位论文.在前人工作的基础上,对一般区域上的抛物型方程、波动方程和对流扩散方程这三种发展方程的并行Galerkin区域分解方法进行了进一步的研究,构造了两大类并行Galerkin区域分解格式.这两类格式也是显/隐格式:在各子区域上用隐式方法,在子区域内边界上分别利用积分平均方法和外推积分平均方法给出了两种显式的数值流逼近.文章严格分析了这些格式的收敛性,得到了最优误差估计,避免了空间H~(-1/2)因子的损失,弥补了前人工作的不足.其中,外推积分平均并行格式要比积分平均并行格式具有更高阶的H逼近精度,可以采用更大的带宽H,它的时间步长限制要弱于积分平均并行格式的,时间步长可以取得更大.论文相应给出了这些格式的数值算例.数值结果验证了理论分析的正确性;相比前人的方法,带宽H可以取得更大,CPU计算时间可大大缩减.这在实践应用中是非常有利的.特别指出的是:为了误差分析的需要,定义了一类新的含有内边界Γ上相关项的非标准椭圆投影,研究了其相关逼近性质.该类投影是以往文献中从未讨论过的,对其逼近性质的讨论具有一定的难度.论文的第三章和第五章分别提出了抛物型方程的并行H~1-Galerkin混合元区域分解方法、对流扩散问题的基于流线扩散方法的并行Galerkin区域分解方法.前人没有类似的研究工作,具有较强的创新性.全文共分五章,具体内容简介如下: 第一章,一般区域上的抛物型方程的并行Galerkin区域分解方法.这种方法也是显/隐格式:在各子区域上用隐式Galerkin方法,通过两种形式显式地给出子区域间内边界Γ上的数值流.首先,采用积分平均方法给出显式的数值流-前一层解在内边界Γ上的方向导数在宽为2H的带型区域上的积分平均值.我们称之为积分平均并行Galerkin格式(简称IM-PG格式).其次,为了获得半带宽H的高阶精度,我们把上述的数值流进行了外推计算,得到了第二个格式,称之为外推积分平均并行Galerkin格式(简称EIM-PG格式).为了保持稳定,时间步长仍需要一个约束条件,但比显式方法的弱.通过误差分析,获得了最优的L~2-模误差估计.相比[24],这些L~2-模误差估计避免了H~(-1/2)因子的损失. 第一章结构如下:§1.1介绍了问题的背景.在§1.2中,定义了积分平均值及其外推值,构造了一般区域上的IM-PG格式和EIM-PG格式.§1.3与§1.4,分别讨论了上述两格式的L~2-模误差估计.为此,定义了一个新的含有内边界Γ上相关项的椭圆投影,研究了其相关逼近性质.在§1.5,提出了几个数值实验,验证了理论分析的正确性.相比前人的方法,本章的方法带宽H可以取得更大,CPU计算时间可大大缩减.§1.6简短讨论了对其它边界条件情形的推广.本章结果已经被期刊Numerical Methods forPartial Differential Equations,见[33]和Int.J.Numer.Meth.Fluids,见[34]接受,并在网上发表. 第二章,抛物型方程的动态变网格并行Galerkin区域分解方法.对于许多时间变化的局部现象问题,如变化剧烈的流体前峰和边界层,动态变网格有限元方法[36]-[37]优于普通的固定网格的有限元方法.原因在于:动态有限元方法具有自我局部网格调整(加密或稀疏)的能力,可以有效地捕捉到流体运动的前峰或变动的边界层.但是,对上述大尺度问题,局部网格调整仍然会产生非常庞大的线性方程组.使用区域分解方法可以把这些大型问题分解成一系列的小问题,从而可以用有限元方法独立并行求解它们. 杨道奇在文献[39,40]中对抛物型方程采用了变网格与区域分解相结合的方法,该方法允许在不同的时间层上,根据需要使用不同的区域分解、不同的网格或不同的插值多项式.子区域上的网格任意,不再是整体区域的正则有限元网格在子区域上的限制[41,43].对含有局部现象的子区域采用网格加密,对解变化缓慢的子区域采用网格稀疏.其中的区域分解方法就是采用的Dawson-Dupont格式[24],即:子区域上隐式Galerkin方法,子区域间内边界上采用显式计算数值流.但该方法在误差分析上仍保留了H~(-1/2)因子的损失. 本章研究的是第一章区域分解方法与动态变网格有限元方法的结合应用.该方法具有杨道奇[39,40]中的优点,同时由于采用的是第一章中的区域分解方法,在误差分析上避免了H~(-1/2)因子的损失,得到了最优阶误差估计.§2.2建立了两个逼近格式,分别称之为积分平均动态并行Galerkin区域分解格式(IM-DPDD格式)和外推积分平均动态并行Galerkin区域分解格式(EIM-DPDD格式).当t=t~(n-1)时刻和t=t~n时刻,使用不同的区域分解或不同的有限元空间时,需利用L~2-投影式,将前一时刻解U~(n-1)投影到当前时刻的L~2-投影解P~nU~(n-1);以这个投影解作为并行Galerkin区域分解格式的初始值,用来求解U~n.§2.3和§2.4,分别分析了这两个格式的稳定性和最优L~2-模收敛性.为了保持稳定性,时间步长仍需要一个约束条件,比显式方法的弱.§2.5给出了数值算例. 第三章,抛物型方程的并行H~1-Galerkin混合元区域分解方法.自Raviart和Thomas[44]以及Nedelec[45]的开创性工作以来,混合元方法已成为许多应用领域中的常用方法[46]-[49].通常来说,混合元方法可以同时近似计算主要变量u和它的流函数σ=(?)u,并且可以获得高阶精度.对二阶抛物型方程的混合元方法,也有大量的研究工作,见[53]-[55].然而,标准混合元方法的有限元空间必须满足LBB-相容性条件(又称inf-sup条件),这就限制了有限元空间的选择,例如:在标准混合元方法中,Raviart-Thomas型空间的指数要满足r≥1. 为了克服LBB-相容性条件,Pani[56]对抛物方程提出了一个替代方法-H~1-Galerkin混合有限元方法.H~1-Galerkin混合有限元方法首先将问题化成未知变量u和其通量函数σ的一阶混合方程组,然后用H~1-Galerkin有限元方法离散.在这个方法中,变量u和其流函数σ的逼近空间V_h×W_h,可以选择不同次数的多项式空间.因此,误差估计可以很好地区分出V_h和W_h的逼近效果.与标准混合元法相比,H~1-Galerkin混合元方法不需要满足空间的LBB-相容性条件.文献[56]指出:当流函数空间W_h选择的是Raviart-Thomas型空间时,可以获得最优L~2和H~1-模估计,这与Johnson和Thom(?)e[53]使用标准混合方法及Raviart-Thomas有限元空间,所获得的结论一致.而且,对L~2和H~1-模估计,没有要求有限元网格的拟一致性条件. 本章考虑第一章方法与H~1-Galerkin混合元法的结合应用,提出了抛物型方程的并行H~1-Galerkin混合元区域分解方法.特别指出的是,这是前人从未研究过的.本章方法不仅具有第一章并行计算方法的优点,而且具有H~1-Galerkin混合元方法的优点:可同时计算变量u和其流函数σ,它们的逼近空间可以选择不同次数的多项式空间,不需要满足空间的LBB-相容性条件,有限元网格不需要拟一致性条件. §3.2给出了两个并行H~1-Galerkin混合元格式.它们在子区域上使用H~1-Galerkin混合元方法,在子区域间内边界Γ上用第一章方法显式给出数值流.分别称它们为:积分平均并行H~1-Galerkin混合元区域分解格式(IM-PMDD格式)和外推积分平均并行H~1-Galerkin混合元区域分解格式(EIM-PMDD格式).§3.3和§3.4,分别关于σ的L~2-模和u的H~1-模的最优误差估计.本章主要结果已投稿刊物. 第四章,一般区域上的波动方程的并行Galerkin区域分解方法.在很多工程问题中,波动方程可以用二阶双曲型方程来表示.Dupont[62]首先用标准能量法对二阶双曲型方程建立了分别建立了时间连续和离散的Galerkin有限元逼近格式,并获得了先验误差估计.Dupont在文献[69]中,把[24]的方法应用于二阶双曲型方程,建立了相应的区域分解方法,误差分析中仍保留了H~(-1/2)因子的损失. 本章把第一章的方法推广应用于波动方程.§4.2给出了波动方程的两个并行Galer-kin区域分解格式.它们在子区域上使用Crank-Nicolson有限元方法,在子区域间内边界Γ上用第一章方法显式给出数值流.分别称它们为:波动方程的积分平均并行Galerkin区域分解格式(Wave-IMPDD格式)和波动方程的外推积分平均并行Galerkin区域分解格式(Wave-EIMPDD格式).§4.3和§4.4,分别定义了离散解的一个能量模,用能量法讨论了这两个格式的L~2-模误差估计.由于采用的是第一章中的区域分解方法,在误差分析上避免了H(-1/2)因子的损失,得到了最优阶误差估计.结论表明这两个格式对Δt和h的收敛阶与Dupont格式[62]的相同.为了满足稳定性要求,时间步长要满足约束条件Δt≤CH,此条件与文献[69]中的约束条件类似.§4.5给出了数值算例.本章主要结果已投稿刊物. 第五章,对流扩散问题的基于流线扩散方法的并行Galerkin区域分解方法.依赖于时间的带有对流占优项的对流扩散问题是一个抛物型方程.然而,对流占优项呈现双曲型方程的特性.由于此原因,很早以来,研究发现用标准有限元方法去解对流占优问题会得不到合理的结论.为了解决此问题,人们提出了一些修正的非标准有限元方法,如流线扩散方法、DG方法等等. Johnson和Navert[72]首先研究了线性问题的流线扩散法(streamline diffusionmethod简称SD方法),并由[73]-[77]等推广应用到依赖于时间的问题上.研究表明SD方法是一种有效的数值方法,比一般标准有限元具有良好的数值稳定性和高阶收敛精度.孙澈等人[78]-[80],对对流扩散问题提出了仅对空间域作有限元离散,而对时间域作差分离散的差分-流线扩散法(finite difference streamline diffusion method简称FDSD方法).对空间域(?)R~d上依赖于时间的问题,从时间层t=t~n到t~(n+1),SD方法必须在(d+1)-维时空域[t~n,t~(n+1)]×(?)上求解离散问题,而FDSD方法只需在d-维空间域(?)上求解离散问题.这种方法保持了SD方法的本质特征,简化了SD方法的算法,方便了SD方法的实际应用.一般情况下,FDSD算法的计算规模大致与全离散Galerkin有限元方法相当. 本章考虑第一章方法与FDSD方法的结合应用,提出了对流扩散问题的基于流线扩散方法的并行Galerkin区域分解方法.特别指出的是,这是前人从未研究过的.本章方法不仅具有第一章并行计算方法的优点,而且具有差分-流线扩散法的优点:比一般标准有限元具有良好的数值稳定性和高阶收敛精度,而且可得到了一般标准有限元方法得不到的沿流线方向上的误差估计. §5.2给出了对流扩散方程的两个并行FDSD格式.它们在子区域上使用隐式FDSD方法,在子区域间内边界Γ上用第一章方法显式给出数值流.分别称它们为:积分平均并行FDSD格式(IM-PFDSD格式)和外推积分平均并行FDSD格式(EIM-PFDSD格式).§5.3和§5.4,分别对这两个格式进行收敛性分析.给出了人工扩散系数δ的选取,推出了时间步长满足的约束条件△t≤CH~2,得到了一个比L~2-模更强的模的最优误差估计.此误差估计,不仅含有最优的H~1-模误差估计,而且含有沿流线方向上的误差估计||β~n·(?)(u-U)~n||-这是普通有限元方法无法得到的.§5.5给出了数值算例.本章主要结果已投稿刊物.


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