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几类非线性微分方程边值问题解的存在性

康平  
【摘要】: 世界本质上是非线性的,研究非线性现象就要用到非线性的理论与方法,于是,各个领域就非线性化起来了,有了非线性力学,非线性光学,…,非线性数学.近代物理学和应用数学地发展,要求分析和控制客观现象的数学能力向着富有全局性的高、精水平发展,从而使非线性分析成果不断积累,逐步形成了现代分析数学的一个重要的分支学科——非线性泛函分析.到上个世纪五十年代,非线性泛函分析已初步形成了理论体系.近年来,由于非线性泛函分析已经成为研究数学、物理、航空航天技术、生物技术中非线性问题的一个重要的工具,所以对非线性泛函分析及其应用的研究具有重要的理论意义和应用价值. 二十世纪以来,非线性泛函分析的发展取得了重大的突破.1912年L.E.J.Brouwer对有限维空间建立了拓扑度的概念,1934年J.Leray和J.Schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场,后来E.Rothe,M.A.Krasnosel'skii,P.H.Rabinowitz,H.Anlann,K.Deinfling等对拓扑度理论、锥理论及其应用进行了深入的研究,国内外许多著名的数学家,如郭大钧教授、张恭庆教授、陈文源教授、定光桂教授、孙经先教授、范先令教授、V.Lakshmikantham、R.P.Agarwal、M.A.Krasnoselskii、H.Amann、H.Brezis、F.E.Browder、E.N.Dancer、K.Deiming等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就(这方面的内容参见[1-12]). 目前非线性泛函分析中的方法主要有拓扑度理论、临界点理论、半序方法、上下解方法、不动点理论、迭合度理论、单调迭代方法、拓扑横截度.研究的主要问题为非线性算子方程解的存在性、解的唯一性、多重解、解集的结构、近似解、解的分歧理论,构造收敛于解的迭代算法,非线性算子理论以及对偏微分方程、微分方程、积分方程和微分-积分方程的应用.这些问题都是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一.其中,第一,非线性微分方程奇异边值问题.它起源于核物理、流体力学、边界层理论、非线性光学等应用学科中,它是微分方程领域中的一个重要的研究领域,由于在物理学、应用数学、航天、生物等领域有着广泛而重要的应用,也引起了众多数学家的重视.世界上的许多著名的数学家用非线性泛函分析中的理论和方法,对奇异边值问题的解的存在性、唯一性、多解性进行了深入的研究,得到了许多新结果.但由于对奇异常微分方程的研究存在许多困难,所以现在仍然是非线性分析研究的一个较为前沿的方向.第二,常微分方程非局部问题.它是指常微分方程定解问题的定解条件不仅依赖于解在区间端点的取值,而且依赖于解在区间内部的某些点上的取值.尽管理论和应用中的许多问题均可归结为常微分方程非局部问题,但由于非局部问题自身固有的难度,人们对非局部问题的研究起步相当晚.Kiguradze,Lomtatidze(1984),Il'in和Moiseev(1987)开始研究二阶线性常微分方程多点边值问题解的存在性,此后的十多年间,关于常微分方程非局部问题的研究取得了重大进展,但还是不够完善,它仍然是一个具有浓厚兴趣并可获取有意义的新成果的研究课题.第三,非线性常微分方程组.由于应用数学中许多高阶微分-积分方程、隐形式方程等可通过适当的变量替换转化为微分-积分方程组,因此方程组的研究对于这些方程有一定的作用. 本文目的主要是利用非线性泛函分析的拓扑度理论和锥理论研究了几类非线性微分方程边值问题解的存在性及其应用等.我们得到了许多新的结果,这些结果无论在理论还是实际上都有重要的意义.本文主要内容如下: 第一章给出了非线性泛函分析的一些基本定义和性质,并且给出了后面一些章节要用到的关于不动点存在的几个引理,这些引理在本文主要结果的证明中是至关重要的. 第二章研究下列非线性二阶常微分方程系统的奇异非局部边值问题其中a_i∈C((0,1),[0,+∞)),a_i(t)允许在t=0或t=1奇异;f_i:[0,1]×[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞),g_i:[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)是连续的且a_1(t)f_1(t,0,0)或a_2(t)f_2(t,0,0)在(0,1)上不恒为零;α_i≥0,β_i≥0,γ_i≥O,δ_i≥0,和ρ_i=α_iγ_i+α_iδ_i+β_iγ_i0;(?)u(s)dφ_i(s),(?)v(s)dφ_i(s),表示Riemann-Stieltjes积分,i=1,2.本章给出了上述问题解的积分表达式,并且在非线性项f_i和g_i(i=1,2)满足增长条件的情况下,利用Leggett-Williams不动点定理,得到了上述问题的至少三个正解的存在性. 第三章研究下列非线性四阶微分系统正解的存在性其中,f_1,f_2:I×R~+×R~+×R~-×R~-→R~+连续,且在f_1和f_2中u",v"是表示弯曲程度的弯曲项,I=[0,1],R~+=[0,+∞),R~-=(-∞,0].通过利用乘积锥里的不动点指数乘积公式和不动点指数理论,在非线性项f_1和f_2具有不同性质的情况下来研究上述问题的正解的存在性,推广和改善了一些已知结果。 第四章在比较弱的条件下,我们研究了具有非局部边界条件的奇异三阶非齐次边值问题其中λ∈(O,∞)是一个参数,a∈C((0,1),[0,+∞))且在t=0或t=1奇异;(?):[0,1]×[0,+∞)×[0,+∞)→+[0,+∞),g_1,g_2:[0,+∞)→[0,+∞)是连续的;(?)u(s)dα(s),和(?)u'(s)dβ(s)表示Riemann-Stieltjes积分,α,β是定义在[0,1]上的增的非常值函数且α(0)=β(0)=0.利用锥拉伸和压缩不动点定理,讨论当参数λ∈(0,∞)时上述问题的正解的存在性和非存在性.第五章研究具有积分边界条件的2p-2q阶奇异边值系统其中λ0,μ0,p,q∈N,a_i∈C((0,1),[0,+∞)),a_i(t)可以在t=0或t=1奇异,i=1,2;f,g:[0,1]×(R~+)~p×(R~+)~q→R~+(R~+=[0,+∞))连续;a_η≥0,b_η≥0,c_η≥0,d_η≥0,ρ_η=a_ηc_η+a_ηd_η+b_ηc_η0,0≤η≤p-1;和α_θ≥0,β_θ≥0,γ_θ≥0,δ_θ≥0,ρ_θ=α_θγ_θ+α_θδ_θ+β_θγ_θ0,0≤θ≤q-1.本章给出上述问题的Green函数的一种简单表达式,并讨论了其性质,进一步利用Krasnosel'skill型的锥拉伸和压缩不动点定理,讨论当参数λ和μ在一定的取值范围内时上述问题的正解的存在性和多重性,推广和改善了一些已知结果. 第六章在较弱的条件下,通过建立一个特殊的锥和利用严格集压缩算子的锥不动点理论,我们建立下列关于抽象空间中具有积分边界条件的四阶边值问题的正解的各种存在性结果:其中a,b∈C([0,1],[0,+∞));f,g:[0,1]×P→P足连续的;a_i≥0,b_i≥0,c_i≥0,d_i≥0且ρ_i=a_ic_i+a_id_i+b_ic_i0,及m_i,n_i∈L~1[0,1]是非负的,


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