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图上有限制条件的几类染色问题的研究

侯建锋  
【摘要】: 对图论的研究已经有二百多年的历史,最早关于图论的文章是在1736年由欧拉完成的,该文章解决了著名的哥尼斯堡七桥问题,自20世纪60年代以来,图论得到了迅猛发展,图论方面的结果大量涌现,其中图的染色理论在图论研究中占有重要的地位,图的染色理论在最优化,计算机理论,网络设计等方面都有着重要的应用,例如在网络中的数据传输,Hessians矩阵的计算等方面,本文旨在讨论图上有限制条件的几类染色问题,包括无圈染色,全染色,列表染色和f-染色。 本文所考虑的图都是有限简单图,我们用V(G)和E(G)分别表示图G的顶点集和边集,图G正常的k-全染色是指用k种颜色对V(G)∪E(G)中的元素进行着色,使得相邻的或者相关联的两个元素染不同的颜色;使图G存在正常的k-全染色的最小正整数k称为G的全色数,记为x″(G)。同样的,如果我们只对图G的顶点或者边的进行着色,分别可以得到图G的点色数x(G)和边色数x′(G)。 图G的一个正常的点(或者边)染色称为无圈的,如果图G中不含2-色圈,换句话说,图G中任何染两种颜色的点(或者边)导出的子图是一棵森林,图G的无圈色数,用a(G)表示,是使图G存在无圈点染色所需的最少颜色数。同样地,图G的无圈边色数,用a′(G)表示,是使图G存在无圈边染色所需的最少颜色数。设L是图G的一个颜色列表:对每个点v∈V(G),给其一个颜色集合L(v),如果图G存在一个无圈点染色φ,使得对v∈V(G),都有φ(v)∈L(v),则称图G是无圈L-可染的,如果对任意的颜色列表L满足:对v∈V(G),有|L(v)|≥k,图G都是无圈L-可染的,则称图G是无圈k-可选择的。 无圈染色问题作为一般染色问题的推广可用来有效的计算Hessians矩阵:如果已知Hessians矩阵是稀疏的和对称的,用有限差分方法来计算Hessians矩阵时可以转化为图的无圈染色问题。在2001,Alon,Sudakov和Zaks提出了如下猜想: 猜想1.对任意图G,都有a′(G)≤△(G)+2。 本文将给出关于该猜想的一些结果。 对于全染色,Behzad和Vizing分别提出如下猜想,该猜想称为全染色猜想: 猜想2.对任意图G,都有△(G)+1≤x″(G)≤△(G)+2。 该猜想迄今还远没有解决,对平面图G,如果最大度△(G)≠6,则该猜想已经被验证,但是对一些曲面图来说,有时候全色数x″(G)可以唯一确定。确定曲面图的全色数将是本文讨论的问题之一。 本文讨论的另外一个问题是列表染色,如果对图G的每个元素x∈V(G)∪E(G),我们都其给一个染色集合L(x),则L称为G的全列表,如果图G存在全染色φ使得对任意的元素x∈V(G)∪E(G),都有φ(x)∈L(x),则称图G是L-全可染的,令f:V(G)∪E(G)→N是正整数函数,如果对任意的全列表L满足:对x∈V(G)∪E(G),有|L(x)|=f(x),图G都是L-全可染的,则称G是f-全可选择的,使图G存在k-全可选择的最小正整数k称为图G的列表全色数,记为x″_l(G)。同样地,图G的列表色数x_l(G)或列表边色数x′_l(G)分别是对G的顶点或边进行着色。 列表染色是由Vizing,Erd(o|¨)s,Rubin和Taylor分别提出的,下面猜想的(a)部分是由Vizing,Gupta,Albertson和Collins,Bollobas和Harris分别提出的,该猜想被称为列表染色猜想,(b)部分是由Borodin,Kostochka和Woodall等人提出的。 猜想3.如果图G是多重图,则有:(a)x′_l(G)=x′(G),(b)x″_l(G)=x″(G)。 对于猜想3,目前只有有限的几个结果。边染色中著名的Vizing定理表明:对最大度为△(G)的图G,有△(G)≤x′(G)≤△(G)+1。结合猜想3以及Vizing定理和全染色猜想,显然有下面的猜想: 猜想4.对任意图G,都有(a)x′_l(G)≤△(G)+1,(b)x″_l(G)≤△(G)+2。 对简单图G,由Vizing定理可知,x′(G)=△(G)或者x′(G)=△(G)+1。有了这个结果,自然地可根据边色数把所有的图划分成两类:如果x′(G)=△(G),我们称图G是第一类的;否则称其为第二类的。在1986年,Hakimi和Kariv将正常边染色推广到f-染色,并得到许多漂亮的结果,设f是给每个顶点υ∈V(G)分配一个正整数f(v)的函数。图G的一个f-染色是G的一个边染色使得任何一种颜色在顶点v处至多出现f(v)次,使G存在一个f-染色所用的最少颜色数称为G的f-色数,记作x′_f(G)。如果对任意的v∈V(G),都有f(v)=1,则f-染色问题就变成经典的边染色问题。 令△_f(G)=max{[d(v)/f(v)]:v∈V(G)}。Hakimi和Kariv得到如下结论:对任意图G,都有△_f(G)≤x′_f(G)≤△_f(G)+1。自然地,所有的简单图都可根据它们的f-色数将其划分成两类。更确切地,如果x′_f(G)=△_f(G),则称G是f-第一类的;否则称G是f-第二类的。如果连通图G是f-第二类,并且满足对任意的e∈E(G)均有x′_f(G-e)<x′_f(G)成立,则称G是f-临界图。 本文主要考虑图上有限制条件的几类染色问题,具体的说,我们主要讨论图的无圈染色,全染色,列表染色和f-染色。本文分五章进行讨论,在第一章,我们给出一个相对完整的简介:首先,我们介绍一些图论中的基本概念和定义,然后,给出几类图上有限制条件的染色的定义和历史,最后给出本文的主要结论。 在第二章,我们主要讨论图的无圈边染色以及无圈列表染色。首先我们用组合方法研究图的无圈边染色,在第2.2节,我们得到平面图的无圈边色数的一个上界,此结果比著名数学家Alon得到的结果要好,同时,我们还对猜想1进行讨论,并且得到许多漂亮的结果。然后我们将完全确定外平面图的无圈边色数,据我们所知,除了树等平凡图外,外平面图是第一个无圈边色数可以唯一确定的一类图,最后我们首次讨论轮胎图的无圈列表染色,证明了每个轮胎图都是无圈8-可选择的。 在第三章,我们讨论图的全染色,证明了:设G是可以嵌入欧拉示性数x(∑)≥0的曲面∑上的图,如果最大度△(G)≥10,则全色数是△(G)+1。该结果的证明比较简单,并且我们的证明思想将会有更广泛的应用,我们同时考虑不含某些圈的平面图的全染色,从而得到许多有趣的结果。 在第四章,我们考虑平面图的列表染色,其中主要是列表边染色和列表全染色,首先,我们给出关于猜想4的一些结果,然后,我们考虑不含4-圈的平面图的列表边染色和列表全染色,得到关于猜想3的一些结果。 在第五章,我们主要讨论图的f-染色。首先,我们给出f-临界图的一些性质,然后,给出f-临界图边数的上下界,最后,我们介绍几类其他的边染色问题。 另外,我们分别在第二、三、四、五章中给出了一些需要进一步研究的问题。


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