收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

受扰离散边值问题特征值的误差估计

吕海燕  
【摘要】: 随着信息技术的飞速发展和数字化计算机的广泛应用,出现了很多差分系统,并且对差分系统的研究也受到人们越来越多的关注(见[1-3,9-23,25-26,30-50]及其参考文献).差分系统的出现有其实际的应用背景.众所周知,连续系统通常用微分系统来描述,但有些系统(如采样系统)却不能用微分系统来描述,而只能用离散系统来描述.另一方面,对于一般的非线性微分系统,其精确解是无法求出的,所以常常将其离散化为离散系统求其近似解.另外,像我们熟知的离散Hamilton系统,不仅来源于连续Hamilton系统的离散化,也来自于遵循Hamilton原理的离散过程,比如离散物理问题,离散控制问题等. 在过去的四十年里,二阶差分方程谱理论的研究引起了人们极大的兴趣(见[3,17,23,25,41-43,49]及其参考文献).F.V.Atkinson首先研究了二阶纯量和向量离散Sturm-Liouville问题并且把带有分离型边界条件的向量问题转化为一个厄米特矩阵的谱问题[3].在1995年,A.Jirari研究了带有更一般边界条件的二阶纯量离散Sturm-Liouville问题,推广了[3]中的部分结果[25].D.T.Smith利用解的振动性,讨论了二阶差分方程自伴算子的谱[42].在文献[41]中,史玉明和陈绍著研究了二阶向量离散Sturm-Liouville问题.通过在一个适当的容许函数空间上引入一个自伴算子,得到了一系列的谱结果. 随着二阶差分方程谱理论的深入研究,离散线性Hamilton系统逐渐引起了人们的兴趣并且得到了许多结果(见[2,9,10,12,18,21,34,36,38,39,45,46]及其参考文献).M.Bohner通过引入严格可控性的定义,运用一个指数定理,Reid环绕定理和比较定理等工具得到了一类离散线性Hamilton系统特征值的孤立性和下方有界性[10].史玉明在文献[38]中通过在一个容许函数空间上给出一个自伴算子,研究了关于离散线性Hamilton系统的谱问题,得到了一系列的结果,包括特征值的变分原理.另外,S.L.Clark和F.Gesztesy研究了具有分离型边界条件的奇异有限Hamilton差分系统的Weyl-Ticthmarsh理论[18].史玉明在文献[39]中建立了具有一个奇异端点的离散线性Hamilton系统的Weyl-Titchmarsh理论.随后,孙华清和史玉明又建立了奇异离散线性Hamilton系统强极限点型的一些判别准则[45]. 除了二阶离散Sturm-Liouville问题和离散线性Hamilton系统谱理论的研究吸引了人们大量的注意力,高阶离散线性问题也逐渐被一些学者研究.周勇[50],G.Grzegorczyk和J.Werbowski[22]均研究了首项系数是1的高阶线性差分方程,建立了几个关于解的振动性的判定定理.史玉明和陈绍著研究了高阶离散线性边值问题,得到了一些谱结果[40].但是由于高阶差分方程自身的特点,使得问题研究起来要比二阶差分方程和离散Hamilton系统困难得多.也许是因为这个原因,讨论高阶差分方程的文献不是很多.关于高阶离散线性问题,读者还可参考[19,30,32]. 近年来,特征值关于问题的连续依赖性引起了人们的关注.显然,它在理论上是很重要的.另外,从实际问题中建立数学模型的时候,在方程的系数和边界条件的数据中总会出现一些误差.因此,特征值关于问题的连续依赖性在应用上也是很重要的.而且从特征值和特征函数的数值计算角度来看,它也是很基础的.利用特征值关于问题的连续依赖性,文献[8]中的代号SLEIGN和文献[4-7]中的代号SLEIGN2被设计用来计算二阶连续Sturm-Liouville问题的特征值和特征函数.在1996年,孔庆凯和A.Zettl考虑了正则二阶连续Sturm-Liouville问题,给出了特征值关于参数的导数的表达式,这些参数包括端点,边界条件,方程的系数和权函数[27].这些结果证明了对于每一个固定的特征值,都存在通过它的一个连续特征值分支.在1999年,孔庆凯,吴宏友和A.Zettl更深入地研究了正则二阶连续Sturm-Liouville问题特征值的连续依赖性[28].他们构造了一个跳跃集,这个跳跃集是由特征值的所有不连续点构成.他们的结果证明:对于一个固定的k,第k个特征值λ_k不是边界条件的连续函数.最近,孙书荣,史玉明和吴宏友研究了二阶纯量正则离散Sturm-Liouville问题[47,48].他们证明了受扰离散Sturm-Liouville问题在原问题的孤立特征值附近存在特征值,并进一步研究了它的连续特征值分支,而且给出了特征值的跳跃集(?),即特征值的所有不连续点.他们的结果表明,特征值的连续依赖性在连续情况和离散情况下既有相同点又有不同点.更详细的讨论可参见文献[28,48]. 基于前人的工作,我们考虑这样一个问题:当一个边值问题受到微小扰动时,如何来估计受扰问题和原问题特征值之间的误差呢?正如前面所述,每个数学模型的数据均会存在一些误差,所以这是一个很重要的问题.然而,到目前为止,不管是在连续情况下还是在离散情况下,都没有这方面的结果. 前面我们提到F.V.Atkinson把带有分离型边界条件的二阶向量问题转化为一个厄米特矩阵的谱问题[3].在文献[29]中,A.M.Ostrowski研究了两个矩阵特征值之间的关系,得到了下面的结论: 设矩阵A=(a_(ij)),B=(b_(ij))∈C~(n×n),A和B的特征值集合分别为σ(A)={λ_i},σ(B)={μ_i}.则对于任意μ∈σ(B),存在λ_i(μ)∈σ(A),使得并且存在{1,…,n)的一个排列{π(1),…,π(n)},使得其中 利用上述结果,我们可以给出受扰的带有分离型边界条件的二阶特征值问题的特征值的误差估计.以带有Dirichlet型边界条件的二阶向量离散Sturm-Liouville问题为例,其中(?)和△分别是向后和向前差分算子,即(?)x(t)=x(t)-x(t-1),Δx(t)=x(t+1)-x(t);C(t)(t∈[0,N]),B(t)和w(t)(t∈[1,N])均为d×d厄米特矩阵,w(t)0(t∈[1,N]).我们可以把上述特征值问题(0.1)转化为如下Nd阶厄米特矩阵的特征值问题,其中问题(0.1)的系数以及权函数的扰动对应着矩阵H的元素的扰动. 若记H=(h_(ij)),矩阵H的扰动(?)=(?),σ(H)={λ_i},σ(?)={μ_i).则对于任意μ∈σ(?),存在λ_i(μ)∈σ(H),使得并且存在{1,…,Nd)的一个排列{π(1),…,π(Nd)},使得其中 由估计式(0.2)我们可以看到,特征值的误差估计不仅依赖于矩阵扰动幅度的1/(Nd)次方,而且依赖于所讨论的区间长度N.另外,由估计式(0.3)可知,特征值的误差估计不仅与矩阵扰动幅度的1/(Nd)次方有关,而且与N~2有关.当扰动幅度很小((?)1),且区间长度N比较大时,(0.2)和(0.3)中的误差估计均会很大.因此,利用这种方法给出问题(0.1)的特征值的误差估计就比较粗糙了. 本文利用特征值的变分原理,对带有一般边界条件的离散线性边值问题的特征值进行讨论,得到了受扰离散边值问题特征值的误差估计.本文分为三章,分别对受扰二阶离散Sturm-Liouville问题,受扰离散线性Hamilton系统特征值问题和受扰高阶离散向量特征值问题之特征值的误差估计进行研究. 在研究过程中,我们需要先研究可逆矩阵的微扰问题.众所周知,当一个可逆矩阵受到微小扰动时,它仍然是可逆的.当这个扰动多小时,能保证可逆矩阵受扰后仍然是可逆的?在本文第一章的第二节,我们回答了这个问题,并建立了一个关于矩阵扰动的不等式.在第一章中,在一定的非奇异条件下,我们引入了一个新的容许函数空间并在此空间上建立了一个新的变分公式.利用该变分公式以及第二节中建立的关于矩阵扰动的不等式,给出了充分逼近给定二阶向量离散Sturm-Liouville问题的受扰问题特征值的误差估计.由此误差估计,得到了特征值关于问题的连续依赖性.另外,通过讨论一个例子说明了非奇异条件的必要性. 在第二章中,我们研究了离散线性Hamilton系统在小扰动下的特征值的误差估计.我们还特别讨论了两类特殊的扰动情形.我们知道:当二阶向量差分方程的首项系数非奇异时,二阶向量离散Sturm-Liouville问题可以转化为离散线性Hamilton系统.但是,在第一章中我们只要求二阶差分方程的首项系数在某些子区间上非奇异,故在第二章中得到的结果不能完全包含第一章的结果. 在第三章中,受第一章思想方法的启发,我们把第一章的结果推广到了2n阶离散向量特征值问题.得到了受扰高阶离散向量边值问题特征值的误差估计.虽然方法类似,但是,由于所研究的问题不仅是高维的而且还是高阶的,所以研究更加复杂. 另外,如果2n阶向量差分方程的首相系数是非奇异的,则它可以转化为第二章中离散线性Hamilton系统的形式.但是,转化之后的离散线性Hamilton系统的系数和权函数在n≥2时不满足第二章中的某些非奇异条件.况且,在第三章中我们只是要求2n阶差分方程的首项系数在某些子区间上非奇异,所以在第二章中得到的结果不能完全包含第三章得到的结果.也就是说有其研究的必要性.


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 石东洋,张熠然,姚昌辉;特征值问题各向异性非协调有限元逼近[J];工程数学学报;2004年06期
2 李友爱;;基于非协调有限元方法的特征值的下界逼近[J];计算数学;2008年02期
3 林府标;杨一都;;有限元二网格离散方案EQ_1~(rot)元特征值下逼近准确特征值[J];贵州师范大学学报(自然科学版);2008年02期
4 韩厚德;求解特征值问题的无限元方法(英文)[J];系统科学与数学;1983年03期
5 唐帅;隆广庆;;弱奇异紧积分算子多投影谱逼近[J];宁夏大学学报(自然科学版);2010年03期
6 杨一都;陈震;;自共轭全连续算子谱逼近的保序收敛性[J];中国科学(A辑:数学);2008年01期
7 唐帅;隆广庆;;紧积分算子多项式多投影谱逼近[J];广西师范学院学报(自然科学版);2009年03期
8 杨一都;特征值问题有限元逼近位移超收敛的一个定理[J];数学杂志;1990年02期
9 周学良;Sturm—Liouville问题的基于谱的散射反演问题[J];武汉大学学报(工学版);1986年01期
10 李龙元;一种对角绝对占优矩阵的特征值渐近解法[J];力学与实践;1987年S1期
11 吴新元,吴宏伟;一个新的高精度二重数值积分公式[J];计算物理;1991年04期
12 张京军,唐冠雄;具有两个小参数的结构振动特征值问题的矩阵摄动法[J];河北建筑科技学院学报(自然科学版);1995年03期
13 钱爱林,吴又胜;对称双边对角矩阵的特征值问题[J];河西学院学报;2005年05期
14 刘三辉;;常微分方程特征值问题的求解器解法[J];数学学习与研究(教研版);2009年07期
15 杨秋霞;王万义;;一类具有转移条件的四阶微分算子的特征值问题[J];内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版);2009年06期
16 吴平;;一类偏微分方程特征值的带权估计[J];荆楚理工学院学报;2010年02期
17 刘金存;李宏;;对流扩散方程的间断时空有限元方法的误差估计[J];应用数学;2011年01期
18 李立康;用伽辽金法解边值问题的误差估计[J];高等学校计算数学学报;1979年02期
19 王兴华;几个数值求根方法的误差估计[J];数学学报;1979年05期
20 史树中;多维连续函数求积公式的误差估计[J];计算数学;1981年04期
中国重要会议论文全文数据库 前10条
1 林治家;庄茁;;有限元计算的面向目标误差估计[A];北京力学会第十六届学术年会论文集[C];2010年
2 林治家;由小川;庄茁;;频域有限元计算的扩展面向目标误差估计[A];北京力学会第18届学术年会论文集[C];2012年
3 张萍;林玉池;赵美蓉;洪昕;;激光自准直仪的数据处理与误差估计[A];中国仪器仪表学会第三届青年学术会议论文集(下)[C];2001年
4 苗同臣;孙利民;;求解多自由度振动系统特征值问题的EXCEL方法[A];力学与工程应用(第十三卷)[C];2010年
5 雷艾玲;;广义系统特征值问题[A];1995年中国控制会议论文集(上)[C];1995年
6 陈正宗;;使用基本解法求解特征值问题[A];中国力学学会学术大会'2005论文摘要集(下)[C];2005年
7 桂国庆;张维奇;;求解动态有限元法中二次矩阵特征值问题的迭代摄动法[A];第五届全国结构工程学术会议论文集(第一卷)[C];1996年
8 庞曰宏;李保国;于亦亮;薜功;车现生;;全站仪在使用过程中的误差分析[A];冀晋琼粤川鲁六省金属学会第十五届矿山学术交流会论文集[C];2008年
9 张勤;赵超英;;球冠谐分析法用于区域地壳垂直形变场逼近的研究[A];地理空间信息技术与应用——中国科协2002年学术年会测绘论文集[C];2002年
10 赵国景;李建良;刘洪;;三维有限元分析误差估计与网格自适应细化[A];第四届全国结构工程学术会议论文集(上)[C];1995年
中国博士学位论文全文数据库 前10条
1 吕海燕;受扰离散边值问题特征值的误差估计[D];山东大学;2009年
2 李洋;正倒向随机微分方程的高精度数值方法及误差估计[D];山东大学;2012年
3 李朝迁;矩阵和高阶张量特征值的定位与估计[D];云南大学;2012年
4 王金磊;倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计[D];山东大学;2009年
5 徐映红;Jacobi矩阵及周期Jacobi矩阵特征值反问题[D];上海大学;2007年
6 戴培良;工程力学中的有限元方法及其误差估计[D];南京航空航天大学;2003年
7 李长峰;抛物问题非重叠区域分裂有限差分法[D];山东大学;2006年
8 彭玉成;有限元方法若干问题研究[D];郑州大学;2006年
9 邢小青;几类最优控制问题的混合元方法及超收敛研究[D];湘潭大学;2008年
10 杨继明;渗流驱动问题间断有限元高效数值方法研究[D];湘潭大学;2007年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 任善静;用Q~(rot)_1元解三维poisson方程/特征值问题[D];贵州师范大学;2009年
2 雷超;紧致Riemann流形第一特征值估计[D];浙江大学;2008年
3 高雄;求解广义对称特征值问题的块Jacobi-Davidson方法[D];南京航空航天大学;2010年
4 曲庆国;对求解大型稀疏特征值问题的子空间迭代法的研究[D];南京航空航天大学;2005年
5 王琳;对间断系数特征值问题的超收敛解法[D];湖南师范大学;2006年
6 莫君慧;二阶椭圆方程及其特征值问题的高精度分析[D];郑州大学;2012年
7 胥成林;一类拟线性椭圆特征值问题解的存在性[D];云南师范大学;2003年
8 李祖平;两个微分算子的非线性扰动[D];郑州大学;2006年
9 殷倩;按向量形式实现的隐式重启块Arnoldi方法[D];厦门大学;2006年
10 黄晓娟;一些非协调板元误差估计新方法[D];郑州大学;2007年
中国重要报纸全文数据库 前5条
1 裕龙;数值预报——奥运气象服务的技术支撑[N];中国气象报;2006年
2 汪凌 贾建坤;美国航天地形测绘发展及其影响(下)[N];中国测绘报;2002年
3 焦国力;“马路天使”会“一病不起”吗?[N];中国国防报;2004年
4 李丹 刘文泉 王德英;中加科技合作向纵深发展[N];中国气象报;2005年
5 记者 郑千里;我国率先开展遥感误差分析[N];科技日报;2001年
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978