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反射倒向随机微分方程及其在混合零和微分对策,可逆投资问题及偏微分方程中的应用

王皓  
【摘要】: 形如的方程被称为倒向随机微分方程(BSDE)。 线性的倒向随机微分方程是由Bismut在1973年研究随机最优控制的最大值原理时首次引入的。1990年,Pardoux和Peng首先证明了系数满足Lipschitz条件的非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性。1992年,著名经济学家Dufffe和Epstein也独立的地引入了一类特殊类型的倒向随机微分方程用以刻画金融中的递归效用函数。随后,学者们进一步的研究了不同条件下这类方程的可解性及相关性质,并广泛应用于数理金融、随机控制和经济管理等领域,使倒向随机微分方程理论得到了进一步的完善和发展。 倒向随机微分方程在金融中有广泛的应用。我们看到,完备市场模型下未定权益在某一时刻T的期望收益可以用一个动态投资组合来复制,其定价过程恰好可以由一个倒向随机微分方程的解Y来描述,对应的另一个过程Z则是相应的对冲投资组合。在实际应用中,金融市场中许多重要的衍生产品均可以通过随机微分方程给出理论价格。倒向随机微分方程的另一个重要应用是给出了一类偏微分方程的概率解释。1991年,Peng利用倒向随机微分方程对一类二阶拟线性抛物型偏微分方程做出了概率解释,将著名的Feynman-Kac公式推广到非线性的情形,为偏微分方程的发展和应用提供了更广阔的空间。 本文主要研究倒向随机微分方程解的存在性和唯一性,及其在混合零和微分-积分对策问题,在可逆投资问题以及在偏微分-积分方程的概率表示等问题上的应用。 以下是本文的结构和主要结论。 第一章:简要回顾倒向随机微分方程的历史及已有的经典结果,同时介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路。 第二章:研究了一类由布朗运动和与之独立的泊松过程共同驱动的双边反射倒向随机微分方程解的存在性和唯一性,其中,上下边界(障碍过程)分别是一个右连左极的过程。更确切的讲,一方面,这里的信息流是由布朗运动和与之独立的泊松过程共同生成的;另一方面,障碍过程可能包含两种类型的跳,既可以是可料的,也可以是不可达的。在不假设Mokobodski条件的情况下,我们需要寻找一个五元适应过程组(Y, Z, V, K~±),其中K~±是右连左极的非减过程,使得对任意tT:这里,B是布朗运动,(?)是与之独立的泊松过程所对应的鞅测度。 利用由Hamadene Hassani在文章[52]中所提出的“局部解”这一有用的工具,我们证明了,当倒向随机微分方程的生成元是满足Lipschitz条件,障碍过程及其左极限过程完全可分时,即:倒向随机微分方程(0.0.1)存在唯一解。 本章的主要结论是; 定理2.3.2.(存在唯一性)在假设条件[H]成立的前提下,以(f,ξ, L, U)为系数的双边反射倒向随机微分方程存在唯一解,即:存在唯一的五元组(Y, Z,V,K~+,K~-)满足(0.0.1)。 在这章的第二部分,作为第一部分存在唯一性的应用,我们考虑了一类混合零和随机微分对策问题。假设在一个带跳的模型中c_1和c_2通过两种形式:控制跟停时进行博弈。受控系统有如下机制:博弈停止时刻,c_1需要支付给c_2如下形式的现金流问题的实质是寻找一个c_1和c_2都接受的平衡点,我们称之为博弈问题存在一个值。通过引入具有(0.0.1)结构的倒向随机微分方程,我们证明了这类博弈问题存在一个值,即下面的关系成立:并且我们可以讲这类博弈问题的值函数用相关的倒向随机微分方程的解来表示。这一部分的主要结果是: 定理2.4.1我们有如下关系成立:即Y_0是这个博弈问题的值。第三章:研究了一类系数不满足平方可积条件时双边反射的倒向随机方程的解的存在唯一性。粗略的讲,我们寻找一个四元适应过程组(Y,Z,K~+,K~-)满足如下方程:更确切的说,一方面,我们削弱了系数ξ,(f(t,ω,0,0))_(t≤T),以及边界的平方可积条件。在本章中,我们仅仅假设对于某个p∈]1,2[,ξ,sup(?)和(?)是L~p可积的。另一方面,在不假设Mokobodski条件的情况下,我们利用局部解这一有力工具以及Hamadene&Popier在文章[63]中获得的此类单边反射问题的有关结果,我们证明了,当边界完全可分时,即 倒向随机微分方程(0.0.2)存在唯一解。 定理3.3.1.(存在唯一性)在假设条件[H']成立的前提下,以(f,ξ, L, U)为系数的双边反射倒向随机微分方程存在唯一解,即:存在唯一的四元组(Y, Z, K~+, K~-)满足(0.0.2)。 第四章:在不确定模型中,研究了一类风险敏感的转换问题。一方面,我们在一个不确定的模型中(注意不确定性跟随机现象的区别)考虑一类转换问题(有时也称之为开关问题)。换言之,我们无法确定未来市场中的随机现象将一直由某个概率测度P来描述,取而代之的,我们只知道它会由一族概率测度中的某一个来描述。另一方面,在研究这类问题的同时,通过引入一类指数型的效用函数,我们考虑了管理者对于风险的喜恶程度。在本章中,我们考虑了一个风险厌恶的管理者在Knight不确定性面前如何进行抉择的转换问题。为了解决这个间题,我们引入了如下的反射倒向随机微分方程的系统:这里g_(12), g_(21)表示进行转换所带来的沉没成本,H~*是该问题对应的哈密尔顿函数。 通过这个系统,我们通过如下定理给出了最佳策略的刻画定理: 定理4.2.1.存在两对三元组(Y~i,Z~i,K~i),i=1,2满足(0.0.3),并且另外,我们有如下关于最佳管理策略(产~*,u~*)的描述:(?),对于n≥0,n=0,…,并且 在本章的最后,我们考虑如下带相互关联障碍的偏微分方程系统:其中Φ_i由下式定义: 注意到,在马氏框架下,这个系统是前面我们给出的系统的确定性版本。我们证明了,这时反射倒向随机微分方程系统(0.0.3)解能够给出偏微分方程系统(0.0.4)的唯一粘性解的概率表示。 第五章:通过引入一类合适的不耦合的正倒向随机微分方程,我们研究了一类抛物型的偏微分积分方程的索伯列夫弱解的概率解释。粗略的说,我们研究如下的偏微分积分方程的变分形式:其中L是对应于一个跳扩散过程的二阶积分微分算子,其定义如下: 在本章中,我们将Bally和Matoussi在文章[5]中引入的随机流方法推广到模型带跳的情形。借助于随机流的良好性质及随机试验函数的引入,我们证明了如下的主要结果: 定理5.3.1.在适当的条件下,PIDE(0.0.5)存在唯一的索伯列夫弱解u.我们有如下的概率解释:u(t,x)=Y_t~(t,x),其中(?)是一个合适的马尔科夫倒向随机微分方程的解,另外,我们有(?),


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