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多孔介质流体的数值方法及其分析与计算

王凯欣  
【摘要】: 多孔介质中的流体流动过程广泛应用于人们生产和生活的各个方面,大到油气田的生产开发、地下水源污染状况的预测与治理、海水入侵、为减缓气候变暖而实施的二氧化碳地下埋存、卫星和电动汽车的燃料电池的设计、以及生物数学和医学的应用,小到婴儿尿片的设计、照片和纸张中油墨的分布、高级防寒服及鞋的设计等等,所以对多孔介质中流体流动的研究引起了包括数学、物理、化学、环境、生物和医学等许多领域的研究人员的兴趣,而且他们的研究工作也在逐渐影响和改变着人们的生活。 我们知道流体在多孔介质中流动的过程中会发生多种复杂的物理化学变化,而用来描述这些变化的数学模型通常可归结为依赖时间的强耦合的非线性偏微分方程组,特别是随着科学与工程的迅速发展以及计算机计算能力的提高,我们越来越意识到该方程组的解的结构非常复杂,而且解本身具有动态的变化剧烈的界面。尤其是界面周边的区域往往是物理和化学变化最为强烈的地方,所以需要准确的求解;但是由其自身的复杂性,必然会给数值模拟带来这样那样的困难。那么如何采取更有效的数值方法,使得问题的物理过程得到更加直观的模拟,进而为工业生产提供理论基础和科学依据,这是数学科研工作者需要共同面对的任务. 本文主要针对由多孔介质中流体流动过程(当然也包括其它问题)的数学模型所确定的依赖时间的对流扩散方程或耦合的偏微分方程组做了部分研究工作,其中包括构造合理有效的数值算法,然后对数值算法进行理论分析,并通过科学计算加以验证.虽然在算法的构造和分析过程中我们主要考虑一般的对流扩散方程或方程组(就是说不假定这些问题必须出现于多孔介质流体),但是会不时地回顾多孔介质流体的应用背景,这样可以更加明确这些模型的物理及数学特性,从而有助于我们有针对性地构造有效的算法及进行分析与计算。因为涉及到的问题面比较广,所以具体问题的实际研究背景我们在具体的章节中再做详细的介绍. 本文的主要内容可分为四部分:第一部分基于实际应用的物理背景,构建了本文要讨论的数学模型.第二部分到第四部分是本文的主体,其中第二部分主要讨论依赖时间的对流扩散方程,我们为其构造了多种数值算法,并通过理论分析,获得了许多重要的分析结果,比如关于小参数一致的最优误差估计、关于退化系数一致的最优误差估计和间断有限元方法的最优误差估计等等。第三部分的研究对象是由依赖时间的对流扩散方程和压力方程组成的耦合偏微分方程组,我们为其构造了数值方法,并做了相应的理论分析。第四部分主要介绍针对近年来逐渐引起研究者兴趣的新数学模型而构造的数值算法,其中包括多尺度对流扩散方程的多尺度拉格朗日方法、含界面的对流扩散方程的特征线浸入有限元方法和分数阶偏微分方程的快速算法。 下面我们详细介绍各部分的主要内容。 第一部分也就是本文的第一章,建立本文要讨论的数学模型,主要包括两方面内容:§1.1讨论多孔介质中的流体的混融驱动问题,推导描述混溶驱动问题的由依赖时间的对流扩散方程和压力方程组成的耦合非线性偏微分方程组,本文中大部分数值方法的分析和计算都是针对这个模型展开的;在§1.2中我们介绍近年来多孔介质流体领域中在数学模型方面的最新进展,包括多尺度问题和分数阶的偏微分方程。 第二部分包括从第二章到第六章的内容,主要研究依赖时间的对流扩散方程的数值方法的开发、分析与计算。首先需要声明的是,虽然这部分我们讨论的是线性的对流扩散方程,但我们的研究目标还是求解第一章建立的耦合系统(1.1.10)-(1.1.11)中的拟线性对流扩散方程(1.1.11)。因为经过第七章的有效线性化以后,在每个离散时间步上原拟线性对流扩散方程(1.1.11)都可视为依赖时间的线性对流扩散方程,所以这一部分的所有数值方法原则上都可以用来求解耦合方程组(1.1.10)-(1.1.11)。第二部分的工作分如下几个课题: (1)为了让大家更清晰的了解欧拉-拉格朗日方法,在第二章我们集中介绍各种欧拉-拉格朗日方法,其中包括修正的特征线方法(MMOC)、调整对流项的修正特征线方法(MMOCAA)和欧拉-拉格朗日局部共轭方法(ELLAM). (2)第三章证明依赖时间的对流扩散方程的欧拉-拉格朗日方法和Galerkin有限元方法关于小参数ε一致的最优误差估计。虽然已经有大量文献[2,30,31,106,109]讨论依赖时间的对流扩散方程的欧拉-拉格朗日方法的误差估计,但是这些误差估计中的一般常数往往与小参数ε有关,当ε很小时,常数会变得很大,从而消弱误差的收敛速度。在§3.3和§3.4中我们将分别证明一维空间和多维空间的对流扩散方程的各种欧拉-拉格朗日方法的最优误差估计,而且所得误差估计只与问题的初始函数和右端函数有关,与小参数ε和精确解都无关;利用解的稳定性和插值空间理论,在弱正则性条件下,我们还要获得初始函数和右端函数在Besov空间范数意义下的关于小参数ε一致的误差估计。 (3)在第四章中我们讨论依赖时间的系数退化的对流扩散方程,获得欧拉-拉格朗日方法关于退化系数一致的最优误差估计。由于多孔介质的非均质性,对流扩散方程的扩散项系数在有些地方往往会发生退化,结果导致所有依赖于扩散项系数的正下界的误差分析[31,106,109]的意义大打折扣。在§4.2中我们证明在强正则性条件下不依赖于扩散项系数的下界的误差估计,该估计在一般区域上当Courant数有正下界时可以达到最优阶;否则可以达到(不可改进的)次最优阶;§4.3利用解的稳定性和插值空间理论,在弱正则性条件下,给出初始函数和右端函数在Besov空间范数意义下的关于退化系数一致的误差估计。 (4)第五章证明多维空间一般边界条件下依赖时间的对流扩散方程在非结构网格上的ELLAM方法的最优误差估计。许多欧拉-拉格朗日方法在多维空间区域上针对对流扩散方程的误差分析,要么要求空间区域是特殊区域,比如矩形区域,要么要求对流扩散方程是在特殊的边界条件下,比如周期性边界条件或noflow边界条件.这些限制条件极大地消减了方法的实用性,而本章中我们将对多维空间中任意凸区域上一般边界条件下的对流扩散方程构造ELLAM数值方法,证明L2范数意义下的最优误差估计和能量范数意义下的超收敛估计,而且需要强调的是所用的空间网格剖分只需要是拟一致的网格剖分。 (5)在第六章中我们证明依赖时间的对流扩散方程和对流反应方程的特征线间断有限元方法的最优误差估计。§6.2针对对流扩散方程构造几种特征线间断有限元方法,而且证明它们的最优L2误差估计;在§6.3中我们为对流-反应方程构造不受CFL条件限制的特征线间断有限元方法,而且通过数值算例验证该算法的模拟效果;除此之外,我们还要考虑多维空间的扩散方程的非对称间断有限元方法,并且通过理论分析得到它的最优L2误差估计。 第三部分也就是本文的第七章,证明依赖时间的耦合的拟线性方程组(1.1.10)-(1.1.11)的混合有限元方法(MFEM)的最优误差估计和超收敛估计。事实上,早在1983年Ewing等[42]就已经提出了使用特征线方法和混合有限元方法相结合的办法来求解该耦合方程组,而且他们也证明了最优的误差估计,但是他们的证明对Courant数有严格的限制,只有当Courant数很小的时候才成立;而且该限制条件几乎成为后续研究的一个必要条件,这与我们从数值试验观察到的结果不吻合。在§7.2中,我们要放松这个限制条件,而且证明最优的误差估计;在§7.3中我们还证明压力方程(1.1.10)沿高斯线的超收敛估计。 第四部分包含本文的最后三章,主要介绍针对近年来逐渐引起研究者兴趣的新数学模型而构造的数值算法.因为地质结构中具有许多不同尺度的裂缝,第八章和第九章分别针对其中的微小裂缝和中等尺度的裂缝构造多尺度拉格朗日方法和特征线浸入有限元方法.第九章的讨论对象是分数阶的偏微分方程,由于空间分数阶偏导数的非局部性,分数阶偏微分方程的有限差分方法的系数矩阵是一个满阵,从而计算时需要耗费极大的计算量和存储量;为了克服这个困难,我们尝试构造分数阶偏微分方程的快速算法,以此降低计算和存储的消耗,而且通过数值试验证明该快速算法能够达到与一般算法同样的计算精度。 总结上述内容,本文的主要创新点如下: ·首次证明了依赖时间的对流扩散方程的欧拉-拉格朗日方法关于小参数一致的最优误差估计[王1、4、5、14、21](说明:本文中[王n]代表附录中攻读博士学位期间本人完成论文情况的列表中的第n篇文章)。 ·首次证明了依赖时间的退化的对流扩散方程的欧拉-拉格朗日方法关于退化系数一致的最优误差估计[王8、16]。 ·首次证明了依赖时间的对流扩散方程的Galerkin有限元方法关于小参数一致的最优误差估计[王19]。 ·首次证明了一般区域上一般边界条件下的依赖时间的对流扩散方程的欧拉-拉格朗日局部共轭方法(ELLAM)的最优误差估计[王17]。 ·首次证明了依赖时间的对流扩散方程的特征线间断有限元方法的最优误差估计[王2、6]。 ·首次证明了多维空间的扩散方程的非对称间断有限元方法在L2范数下的最优误差估计[王7]。 ·首次在合理的网格比条件下证明了依赖时间的耦合拟线性方程组的混合有限元方法的最优误差估计和超收敛估计[王11]。 ·对依赖时间的多尺度的对流扩散方程首次构造了多尺度拉格朗日方法,并且通过数值算例验证了该方法的精度[王9、13]。 ·对含界面的对流扩散方程构造了特征线浸入有限元方法,并且首次证明了它的最优误差估计。 ·对依赖时间的分数阶的对流扩散方程首次构造了一种可极大地减少计算量和存储量的快速算法,并且通过数值算例验证了该算法的优越性[王18]。 由于篇幅限制,没有将攻读博士学位以来完成的所有工作都包含在本学位论文里面。在本文的随后章节里,我会逐章介绍这几年来的工作以及各工作之间的相互关系,并选其中具有代表性的工作详细展开。


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