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双调和方程及油田注水开发最优控制问题数值分析

曹伟东  
【摘要】: 偏微分方程最优控制问题在近三十多年的快速发展,为数学学科带来了一个非常有发展前景和生命力的研究领域。对于这一领域的研究,涉及到了物理、化学、生物等许多应用领域的内容,如材料设计、晶体生长、温度控制、石油开采等等,相关的文献可以参见[39,47,49,73]等。其中涉及到的偏微分方程,既有椭圆的和线性的,又有抛物、双曲的以及非线性的。此外,按照受限条件的不同,还可包含控制受限的最优控制问题和状态受限的最优控制问题。偏微分方程最优控制问题在近几十年的发展中,已经有了相对完善的理论框架,相关的计算软件的开发也取得了很大的进展。工程上以及数学上,科学家们关心的最优控制问题大多可用如下的抽象数学模型来表示: 其中J为根据实际需要提出的目标泛函,y称为状态变量,u称为控制变量,Uad称为控制约束集,A(y;u)=0表示某一偏微分方程,其中还包括变分不等式,甚至结合状态受限等多种形式,一般地,我们称A(y;u)=0为状态方程。 近些年来,对偏微分方程最优控制问题这一领域的研究,以下四个方面得到了大家的广泛关注和深入探索: (P1)研究受控于更多种类型的偏微分方程的最优控制问题,根据实际工程的需要,建立更多的数学模型,并在已有的理论基础上,对于提出的模型进行深入的理论分析和算法实现; (P2)自适应有限元方法更深入的应用; (P3)探索更加复杂的受限条件,针对控制受限和状态受限的问题,如何建立更加完善的数学理论和有效的数值算法; (P4)如何处理更加复杂的偏微分方程,如对于二维乃至三维的耦合的非线性时变偏微分方程组,如何建立这样的最优控制问题的快速有效数值求解算法,从而使最优控制理论更直接地应用于生产实际。 显然,这四个方面能给我们带来一片十分广阔而又非常富有挑战性的研究空间。因此,对于这几个方向的探讨,无论在数学的理论分析上,还是在工程的实际应用需求上,都具有重要的研究意义。 对于第一个方面(P1),单就椭圆控制问题来说,供我们可研究的偏微分方程就还有很多。对于受控于二阶椭圆方程的控制问题,按照受限变量划分,在控制与状态受限两大方面均有了较广泛的研究,如[2,3,6,14,16,17,18,19,31,61]等相关文献;按照控制类型划分,在分布式控制、边界控制及参数估计等方面,也有了比较完善的结果,如[50,58,59,82,83]等。而对于受控于四阶椭圆方程的最优控制问题,研究相对较少,在这一领域,有许多相关的数学模型尚未建立,而众多数值算法的应用,更是需要科研工作者探索的重要课题。我们知道,求解四阶椭圆方程,如果用协调元直接进行有限元离散,基函数对应的分片多项式需要较多的自由度,带来计算量的迅速增加。因此,寻求更加快速有效的数值算法,以及将这些算法融合到最优控制的算法中去,是一项很有意义的工作。 在四阶偏微分方程的数值算法研究方面,特别地,在双调和方程的研究上,已经有很多出色的工作,例如文献[7,8,22,25,26,28,30,40,53,63,68,71,81]等。双调和方程描述的物理模型来自于流体力学和工程力学,例如弹性板的弯曲。本文中,我们仅就双调和方程中很有代表性的一个类型展开研究,即第一类双调和方程,数学表达式如下: 在某些关于第一类双调和方程的应用类文献中,例如梁和板的形变问题中,上面模型中的y表示位移,Δy表示曲率,一般地,工程上比较关心这这两个参数,从而相应地带来了关于控制这两个参数的最优控制问题的研究。在上面模型中,右端项u表示外部的负载或者作用力,如何控制外力来改变板的位移和曲率等形变性质,根据不同的目标,我们可以建立多种最优控制模型。 对于四阶偏微分方程,为了减少自由度,更加快速地求解,我们很自然地引入混合有限元离散格式。关于四阶偏微分方程的混合有限元离散格式,已经有了较多的研究,例如Ciarlet-Raviart混合元、Herrmann-Miyoshi混合元、Hellan-Herrmann-Johnson混合元等等,相关的文献可见[11,25,26,28,51,63,68,71]等以及这些文章的参考文献。在众多混合元格式中,Ciarlet-Raviart混合元离散格式的某些特殊性引起了我们的研究兴趣。从已有的结果来看,Scholz在[71]中给出了双调和方程分片线性Ciarlet-Raviart元离散格式的收敛性结果,对于这一问题的分片高次多项式Ciarlet-Raviart元离散格式,Babuska、Ciarlet等在文献[7,28,37,68]中给出了相应的收敛性分析.无论是线性的还是高次的Ciarlet-Raviart元离散格式,我们发现在前人文献中给出的理论结果中都有进一步改善的空间,另一方面,对于Ciarlet-Raviart元离散格式的数值计算,据我们所知,尚没有公开发表的结果,因此,改进Ciarlet-Raviart元离散格式的误差估计,以及通过数值实验结果来验证我们的理论,引起了我们的强烈研究兴趣.鉴于在工程应用中提出了受控于四阶偏微分方程的最优控制问题,将上面我们所提到的工作和最优控制理论结合,无论在理论难度上,还是在应用的广度和深度上,都将具有重要的研究意义.关于受控于双调和方程的最优控制问题的研究,李炳杰等在文献[52]中利用混合元离散格式研究了边界控制受限的双调和方程最优控制问题,据作者所知,在分布式控制受限的双调和方程最优控制问题研究上,尚没有相关的结果,至于状态受限,乃至控制、状态双受限等情况,相关的工作更是凤毛麟角。因此,探讨双调和方程的最优控制问题,我们可以延伸到后验误差估计、自适应算法研究以及状态受限等多种情况,从而使得对这一问题的研究,涉及到了前文中提到的(P1)~(P3)三个方面的内容. 自适应有限元方法在近些年来因其计算高效性,已经成为科学与工程计算中的一个重要研究领域。自适应方法的基本步骤是通过后验误差估计指示子对网格局部加密或者放疏,更加有效地求得数值解.关于误差估计指示子的类型,有残量型、分层基型、函数型等等,具体可见文献[77]等.自适应有限元方法在最优控制问题中已经有了广泛的应用,尤其在利用残量型误差指示子方面.而对于利用Ciarlet-Raviart元离散双调和方程控制问题的后验误差估计,相关的工作较少.Charbonneau等学者在文献[22]中给出了分片2次Ciarlet-Raviart元离散的双调和方程后验误差估计,他们得到了次最优的残量型误差指示子.而对于分片线性Ciarlet-Raviart元离散,却得不到类似的结果。本文中,我们利用类似的方法分析分片线性Ciarlet-Raviart元离散的双调和方程最优控制问题,在一个修正的范数意义下,得到了最优的后验误差估计子. 现有的大多数偏微分方程最优控制问题的理论结果,都是研究控制受限的问题,而且大多是受控于2阶的偏微分方程,例如[6,16,17,43,50,59]等文献。近些年来,众多的学者开始受限的提法转移到状态受限上来,将积分平均受限、L2模受限、点态受限等状态约束,引入到最优控制问题中来。一方面,这是工程中研究的需要,例如热能控制问题中对于温度的限制、材料形变中对于某些形变参数的限制、油藏驱替中井口压力的限制等等;另一方面,状态受限的最优控制问题,在理论和算法上相比于控制受限的问题,还有更多难以解决的问题。因此,状态受限的问题,越来越得到大家的关注。在这一领域,已经逐渐产生了许多建设性的工作和成果,例如Casas,Deckelnick和Hinze等人在[14,16,17,31]等文献中给出了点态状态受限的2阶椭圆控制问题的一些理论和数值结果;羊丹平、刘文斌、袁磊等在[60,84,85,86]等一系列文章中系统地研究了积分受限、L2范数受限、H1范数受限等状态受限以及控制、状态双受限的最优控制问题,给出了误差估计和数值结果;Meyer,Prufert,Troltzsch和Weiser等人在[61]和[67]等文献中给出了控制、状态混合受限的椭圆控制问题的数值算法。关于受控于四阶偏微分方程的状态受限的最优控制问题,乃至控制、状态双受限的问题,目前研究的工作相对较少。 在石油工程领域,油藏模拟专家采用质量守恒和动量守恒方程组来描述地下油、水、汽以及聚合物等化学物质在多孔介质中的运移过程,这一类的方程往往涉及到大量耦合的非线性椭圆、抛物方程组,在数值模拟上有很大的难度。目前国内的大多数油田仍主要采用注水驱油的二次采油方式,尤其是国内的主力油田,基本已经进入二次采油的后期阶段,甚至已经开始进入三次采油阶段。这个时候,对于二次采油的方式,往往注入大量的水,只能采出少量的油。我们知道,出于减少对管道的腐蚀等方面的考虑,油田采油所用的水质要求非常高,需要经过多次净化提纯加工等程序,而优质水的大量注入,所花费的生产成本是值得我们考虑的。如何利用最少的水,采出最多的油,提高采收率,是摆在油藏工作者面前的一大难题。对这一问题的研究,对于油田注水开发方案的设计以及实际的生产,都将具有重要的指导意义。这一问题实际上就是要确定一个最优控制策略,在数学上,可以归结为受控于两相流(或多相流)混溶(或不可混溶)驱动方程组的最优控制问题。对这一问题,国内外的学者已经有(?)些研究结果,如Brouwer和Jansen等学者在文献[12]中研究了智能井的动态注水优化控制模型,利用传统的优化的方法做了数值计算。本文中,我们利用推导对偶状态方程的方法,给出了控制问题的最优性条件,从更精确的角度进行了理论分析和数值计算。 在羊丹平教授和刘文斌教授的指导下,本文作者对双调和方程最优控制问题和两相不可混溶驱动方程组最优控制问题做了部分研究工作。对于前者,我们首次对分布式控制受限和控制、状态双受限的双调和方程控制问题进行了混合元算法分析,给出了相应的先验误差估计.其中对于分布式控制受限的情况,我们的创新之处在于得到了新的收敛阶,同时对于分片线性Ciarlet-Raviart元离散格式,得到了次最优的后验误差估计,改进了前人的结果。这一方面的部分结果已经发表在Journal of Computational and Applied Mathematics上.对于双受限的情况,我们结合众多文献中的方法,第一次给出了该控制问题的收敛性结果和误差估计,同时也给出了数值算例。对于后者,我们提出了最优控制的数学模型,第一次进行了系统的有限元分析,证明了解的存在性,推导出了先验误差估计,同时进行了数值计算. 全文共分三章,下面分别介绍一下各章的主要内容。 第一章,对于分布式控制受限的第一类双调和方程控制问题,给出了Ciarlet-Raviart混合有限元离散格式,得出了连续的和离散的最优性条件。对于分片线性Ciarlet-Raviart元离散,分析了先验误差估计和后验误差估计。在先验估计的推导中,通过改进一个Riesz投影逼近的误差估计,得到了有限元解更高阶的误差收敛精度;在推导后验误差估计过程中,对于一个修正的范数,得到了等价的后验误差估计子。本章中,对于控制问题,我们同时分析了分片高次Ciarlet-Raviart元逼近的先验误差估计,在某个正则性假定下,也得到了更好的误差收敛精度。每一部分估计的最后,我们都通过几个数值实验证明了我们的结论。 第二章,对于控制点态、状态积分双受限的第一类双调和方程控制问题,进行了数值分析。同样地,我们用Ciarlet-Raviart混合元对方程中的状态变量进行离散,得出了连续的和离散的最优性条件,同时,结合[17,61,84]等文献的方法,再应用第一章中得到的部分结论,我们给出了该控制问题的先验误差估计,并做了数值模拟。 第三章,我们对于油田注水采油优化设计问题,提出了一类受控于两相不可压缩不可混溶驱动方程组的最优控制问题数学模型,并进行了数值分析.这一课题是在羊丹平教授和刘文斌教授指导下,在课题组孙同军老师和杜宁老师帮助下,常延贞师姐和我参与完成的,其中部分结果已经收录在常延贞的博士毕业论文中,具体内容我们将在论文中指明.本文在这一章中与常延贞博士论文中收录内容不同之处在于,改进了对偶方程解的存在性的证明,对于状态变量和控制变量,给出了先验误差估计,同时,在本章的最后一节,进行了大量的数值计算,对最优控制模型进行了全面的分析论证.


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