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几类微分方程的紧差分格式和STS显式加速技术

李鹏  
【摘要】:在论文的第一部分,我们根据现有文献构造的解三阶边值问题的二阶非对称格式,利用低阶微分线性表示其余项中高阶微分的方法,将二阶的非对称格式推广到紧的三阶和四阶格式。推广得到的矩阵带宽除边界外并没有增加,而且导出的四阶格式的矩阵带宽比二阶的要窄。收敛性分析证明了我们构造的两个格式是收敛的,且精度分别为三阶和四阶。数值实验结果很好地验证了方法的精确性和有效性。同时,我们也对其他一些边界条件做了简单的讨论。 在论文的第二部分,我们对KdV-Burgers方程构造了三种高阶的隐式紧差分格式。其中,根据第一部分中提到的思想构建了非对称的四阶格式。关于时间离散,我们应用了三层格式,使得在求解过程中不需要对非线性项进行特别处理(比如外推)就能达到相应的精度。我们还构造了紧的ADI格式来求解线性的二维色散方程。数值实验验证了所构造的三种高阶格式的精确性和有效性。 在第三部分中,我们考察了时间离散基于一阶显式Euler方法和高阶显式Runge-Kutta方法时STS(超时间步长)显式加速技术的表现;在此,分别称之为一阶STS格式和高阶STS格式。通过数值实验,我们发现相比于标准显格式,一阶的STS格式对于线性的热传导方程、非线性的Stefan方程和带有粘性项的Burgers方程都有明显的加速作用;但对于高阶的STS格式,加速的效果并不明显。我们通过理论分析分别做出了一阶和高阶STS格式的绝对稳定域,发现高阶的STS格式的绝对稳定域无论是在实轴方向还是虚轴方向都要小于标准的显格式。这说明简单地将STS显式加速技术推广到Runge-Kutta方法上是不成立的。


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