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Hamilton系统理论在内波研究中的应用

周红燕  
【摘要】: 分层流体域中的内波理论不仅在海洋工程方面具有重要意义,同时也是非线性色散方程模型的重要来源。本文运用Dirichlet-Neumann算子给出的Dirichlet积分的表达式,推导了两层和三层流体域中有关Zakharov在Hamilton算子方面的公式。通过此公式,本文应用Hamilton摄动理论对重要的长波尺度形式,Boussinesq尺度形式和KdV尺度形式,进行了系统的分析。本文得到的有关公式不仅在摄动计算方面有着重要意义,也为数值模拟提供了基础保证。 论文的主要结果如下: 第一,本文得出了周期底部边界条件下两层密度成层流体中2-维非线性长波问题的Hamilton公式,其中振幅的变化与流体深度是同阶的。从这个公式出发,应用Hamilton摄动理论,本文导出了底地形短尺度变化下描述双向长波运动的有效Boussinesq方程和描述单向长波运动的近似KdV方程。这些结果的推导都是在多重尺度算子渐近分析理论框架下完成的。另外,为了公式推导的方便简洁,本文将上层流体的自由面假设为刚盖条件。当然,借助第二章附录中给出的自由面非刚盖条件下上层流体Dirichlet-Neumann算子的泰勒展式,本文的结果完全可以推广到非刚盖情形。 第二,在刚盖边界条件下,本文研究了三层密度成层流体内内波的长波展开,给出了流体域中2-维非线性长波问题的Hamilton公式。应用此公式,本文导出了界面的线性化方程和相应的色散关系,得知三层密度成层流体界面内波有两个运动模态,它们分别对应于两个界面波的传播方式。同时,应用Hamilton摄动理论得到了界面波动的耦合Boussinesq方程;依据界面振幅差距的大小,本文分两种情况给出了内波单向传播的KdV方程(一个界面)和耦合KdV方程组(两个界面)。这些结果的推导都是在多重尺度算子渐近分析理论框架下完成的。


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