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关于Beltrami方程解的几个问题

曹秀梅  
【摘要】:Beltrami方程作为Cauchy-Riemann方程的推广在流体力学、弹性力学和现代控制理论等领域都有着广泛的应用。从形式上来看,Beltrami方程主要可以分为下述两类: 第一类 f_(?)(z)=μ(z)f_z(z) 其中μ(z)为可测函数; 第二类 (?)_(?)(z)=α(z)f_z(Z) 其中α(z)为解析函数;通常μ(z)和α(z)都称为f的复特征。 长期以来,Beltrami方程同胚解的存在和唯一性问题一直是很多数学家所关心的热点问题之一。本文在第二、三章分别对这两类Beltrami方程解的情况及其性质进行了详细地讨论。Beltrami方程的解与其复特征有着密切的联系。当真‖μ‖_∞1时,第一类Beltrami方程的L_2同胚解就是一个拟共形映射,反之一个拟共形映射总是某个第一类Beltrami方程的L_2广义同胚解。当‖α‖1时,第二类Beltrami方程一定存在解——调和映射f,并且f能够将一个给定区域映满指定的像域,即塌陷情况一定不会发生。在‖μ‖_∞=1(或‖α‖=1)的情况下,Beltrami方程解的存在和唯一性问题比较复杂。所以,在‖μ‖_∞=1时,为了得到第一类Beltrami方程解的存在唯一性条件就将μ附加各种新的限制。在‖α‖=1时,重点讨论的是α(z)是Blaschke乘积的情形下第二类Beltrami方程解的情况与性质,同时,也对α(z)附加新的条件来讨论何时塌陷一定不发生。 本文的第四章研究的是单叶调和函数模的偏差估计,我们将拟共形映射理论与调和函数理论相互结合起来,用新定义的角伸缩商宋对单叶调和函数的模给出新的估计。


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