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一类差分方程的性质研究

李天国  
【摘要】: 本文讨论了一类差分方程——Lyness方程及相关方程的各种性质。通过对两个具体方程的研究,给出了该类方程包括振动性、周期性、全局吸引性在内的各种性质。 利用数值模拟给出了一类用Round函数定义的Lyness方程的周期性。通过数值实验,给出了方程在不同初值条件下的迭代数据,并对这些不同初值条件下的迭代数据进行作图,继而直观地看出方程的周期性。数值实验表明:这些类型的Lyness方程的某些情形随着阶数的增大具有一些有趣的性质,具有与其阶数相关的周期规律,即当阶数为k时,周期为3k + 2。此外,在进行数值实验的过程中,发现对于我们所有研究的方程和选取的初值,当迭代次数很大时,具有图形上的周期性。由此我们推测,这类差分方程,对于任意初值条件,当迭代次数充分大后,均呈现周期性。我们还利用取整函数定义了一类Lyness方程,并与以Round函数定义的Lyness方程进行相关性质的对比。随后,文章对阶数k较小值时的差分方程进行了周期性的理论分析,给出了方程在小阶数情况下所有解的情况,彻底解决了方程在k =0情况下所有解的结构。 在随后的一个注解中,我们给出了一个有趣的发现。即我国古代五行系统周期性与我们所研究的Lyness差分方程在某种情况下周期性的重合性。通过对比,我们发现,在我国古代关于五行系统相生相克的学说中,其实蕴含着一个关于周期性的科学论断。这与近几年国内外数学家们研究的一类Lyness方程具有同为周期5的性质。 最后,在另一个相关Lyness方程中,基于其线性化方程振动性的可实现性,对其线性化后,给出了该类方程振动性的充分必要条件。利用反证法,判定了该类方程不具2周期解的性质。随后我们指出,方程的所有正解形成一个不变区间,在此不变区间内,方程的唯一正平衡解是一个全局吸引子。


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