涉及公共值的亚纯函数的惟一性

【摘要】： 芬兰数学家R.Nevanlinna所创立的Nevanlinna理论，堪称二十世纪最重大的数学成就之一，这不仅因此它奠定了现代亚纯函数理论的基础而且对数学的许多分支的发展，交叉和融合产生了重大而深远的影响.特别是在复域中微分方程大范围解析解的研究中，Nevanlinna理论的成功介入，为之提供了十分重要的研究工具. 1929年，R.Nevanlinna研究了决定一个亚纯函数所需的条件，得到两个著名的亚纯函数惟一性定理，它们通常被称为Nevanlinna四值定理和Nevanlinna五值定理.从此，亚纯函数惟一性理论，特别是亚纯函数公共值问题的研究拉开了序幕. 本文介绍了作者就涉及导数的亚纯函数分担公共值问题所做的部分研究工作.全文共分四章. 第一章，简要介绍了与本文有关的亚纯函数值分布理论中的一些主要概念，基本结果和常用记号. 第二章，我们研究了整函数与其导数分担一个有穷复数的问题，得到的下面的定理，改进了钟华梁的定理. 定理2.1设f为非常数的整函数，n( 2)为正整数．如果f与f '分担有穷非零复数a IM，并且当f (z) = a时，f (n) (z) f (n 1) (z) a + = =，那么f = bez，b为非零常数． 第三章，讨论了整函数与其导数分担一个多项式的问题，得到了下面两个定理，它们分别推广了李效敏的相应结果． 定理3.1设为多项式，P(z)为整函数，k为正整数.如果f为方程的非常数解，那么 定理3.2设P(z)，Q(z)为多项式，n为正整数.如果f为微分方程的超越解，满足V ( f )不为正整数并且f (z)与f~(n) (z)分担z IM.那么并且f =γe~z，其中γ(≠0)为有穷复常数. 在第四章中，我们研究了一类特殊的亚纯函数f n与其k阶导数f (k )分担一个小函数的问题，得到了下面的两个主要定理和一系列推论,它们很好的改进了张庆彩等人的相关结果. 定理4.1设f为非常数的亚纯函数, n , k为正整数，a(z)( / 0, )为f的小函数.如果和分担0 IM，并且或者f~n-a和f~(k)-a分担0 CM，并且为常数，那么，C为某一非零常数. 定理4.2设f为非常数的亚纯函数, n , k为正整数，a(z)(≠0,∞)为f的小函数.如果f~n-a和f~(k)-a分担0 IM，并且或者f~n-a和f~(k)-a分担0 CM，并且那么