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几类脉冲微分方程的振动性研究

刘志  
【摘要】:近些年,我们见证了脉冲微分方程理论的快速发展。脉冲微分方程是用来描述自然界发展过程中瞬时扰动的一类数学模型。由于脉冲微分方程在物理学、化学、种群动态学、生态学、生物系统、控制系统等方面的广泛应用,越来越多的学者开始探究脉冲微分方程理论,尤其是脉冲微分方程振动性理论。 本文我们研究了几类脉冲微分方程的区间振动性,并分别建立了它们的El-Sayed型和Kamenev型振动准则。各章节内容安排如下: 第一章,简要介绍了脉冲微分方程理论的发展现状,同时介绍了本文的主要工作内容。 第二章,研究了一类含有Riemann-Stieltjes积分项的脉冲微分方程解的振动性,并分别给出了方程的El-Sayed型和Kamenev型振动准则。基于有限区间内脉冲时刻的个数,我们利用更一般的El-Sayed型函数和Kong技术来解决脉冲微分方程的区间振动性,从而给出方程振动的充分条件。我们所给出的结果不仅推广了已有的相关结论,并且将文献[37,38]中对脉冲系数d_k≥c_k的限定条件放宽至c_k0,d_k0。该部分结果于2012年发表在杂志《Computers and Mathematics withApplications》上。 第三章,我们研究了一类含Riemann-Stieltjes积分项的时滞脉冲微分方程的振动性,首先,我们在有界区间上解决了时滞项x (τ(t,s))/x (t)的估计问题,这在整个寻找方程振动的充分条件的过程中起着至关重要的作用。其次,我们引入特殊的El-Sayed函数和根据有限区间上的脉冲次数多次利用Kong技巧分别得到相应的振动条件。这里将脉冲系数的约定放宽至c_k≥1, d_k0。最后,我们的方程既考虑了脉冲扰动又包含了时滞项和R-S积分项,因此很多混合型Emden-Fowler方程作为特殊情况都包含在内,推广完善了已有结果。本章结果发表在杂志《Advances in Difference Equations》上。 第四章,我们在时间尺度上给出了一类含Riemann-Stieltjes积分项的时滞脉冲微分方程的区间振动准则。通过解决时间尺度上脉冲扰动和时滞的估计问题,分别给出了方程振动的两个充分条件。该部分,我们利用一般的几何平均不等式技术来解决脉冲微分方程的区间振动性。该方程我们限定x (t)是连续的,而其一阶导数有脉冲扰动,同时考虑了时滞项和Riemann-Stieltjes项,即使是对于特殊情况Τ=R时,我们所给出的结论也推广了很多已有的结果。 第五章,对本文工作进行总结与展望。


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