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非线性正系统的实用稳定性

李若南  
【摘要】:稳定性问题是控制理论的核心问题之一,而实用稳定性理论作为现代运动稳定性理论的研究方向之一,主要研究给定的初始估计区域与随后偏差估计区域的运动,并且实用稳定并不弱于李雅普诺夫稳定。另外,现实世界中非线性是一种非常普遍的现象,并且很多非线性系统涉及到的变量都是非负的,例如密度,绝对温度,浓度等,这样的系统被称为非线性正系统。本文主要研究了几类可以借助正系统理论方法进行研究的非线性系统的实用稳定性问题,主要贡献有以下几个方面:第一,由于过去针对实用稳定性的研究都是基于范数定义下的,我们提出新的更适合正系统的实用稳定性概念。然后运用比较原理给出非线性正系统是实用稳定(Practical stability,简称PS)和一致实用稳定(Uniformly practical stability,简称UPS)的充分条件;对于带扰动的线性时变正系统,把扰动分成四类不同情况讨论,分别利用Bellman不等式、Bihari不等式、Bellman-Bihari不等式得出带扰动的线性时变正系统的PS的充分判据。同时,分别通过数值仿真验证推导结果的正确性。第二,针对非线性切换正系统,受到第一部分的启发,我们利用常用的多李雅普诺夫函数(multiple Lyapunov functions)研究非线性切换正系统的实用稳定,给出非线性切换正系统PS和UPS的充分条件;对于带扰动的线性时变切换正系统,利用切换子系统之间的关系,给出该切换系统PS和UPS的充分条件。最后都通过数值仿真验证推导结果的正确性。第三,对于时滞非线性正系统,构造最大可分李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数(maxseparable Lyapunov-Krasovskii functiuon)得到时滞非线性正系统的PS充分判据,针对多时滞非线性正系统同样给出了PS充分判据。类似地,针对单时滞和多时滞线性时变正系统,同样利用max-separable Lyapunov-Krasovskii函数得到系统PS的充分条件,并且利用状态反馈证明了状态时滞是能够被实用镇定的。最后并分别给出数值仿真算例验证结论的正确性。


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