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二维分数阶扩散方程的反问题

李慧玲  
【摘要】:本文应用最佳摄动量正则化算法研究二维时间/空间分数阶扩散方程中确定源项强度与源项系数函数的数值反演问题。对于二维时间/空间分数阶扩散正问题,给出有限差分求解格式,并证明格式的稳定性和收敛性。对于确定源项强度及源项系数函数的反问题,应用最佳摄动量算法在不同参数取值条件下进行数值反演。数值算例表明,所研究的分数阶扩散源项识别反问题具有较弱的病态性,最佳摄动量算法对于所考虑的二维时间/空间分数阶扩散反问题是有效的,且反演算法对于附加数据扰动具有一定的稳定性。 论文主要内容安排如下: 第一章介绍研究意义,国内外研究动态、发展趋势及本文的主要工作。 第二章介绍分数阶导数的概念,包括三种常用分数阶导数的定义、性质及其关系,以及分数微积分的傅立叶变换和拉普拉斯变换。 第三章主要探讨二维时间分数阶常系数扩散模型正问题的数值解法。对于一般连续初值条件,建立隐式差分求解格式,并给出数值算例;对于瞬时多点源初值条件,给出隐式差分格式,并推导出问题的解析解。 第四章引入源强度识别反问题的最佳摄动量正则化算法,并对二维时间分数阶常系数扩散模型中源强度和源项参数识别反问题进行数值反演,讨论影响算法实现的几个主要因素。 第五章对于二维空间分数阶扩散方程正问题求解,建立Euler交替差分格式,证明差分格式的一致性和稳定性,并给出数值算例。进而应用最佳摄动量正则化算法对源项系数识别反问题进行数值反演研究,对影响算法实现的几个因素进行讨论。 第六章总结本文的工作,给出主要结论,并对后续研究工作给予展望。


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