稳定温度场问题和弹性力学问题的辅助边值问题法

【摘要】：众所周知,有限元法是占有主导地位的数值模拟技术,它在科学计算与工程分析领域中得到了非常广泛的应用。然而,有限元法需将其计算域离散成某种规则化网格,即区域单元,这些单元之间一般需要满足一定的关联性。对于三维问题,数据处理所耗费的时间远远大于计算时间,特别是对于某些具有复杂几何计算区域的问题,可能付出相当大的计算代价,甚至有时带来数学理论上的麻烦。再者,作为一个域离散技术,对于那些仅仅测量边界数据的反问题来说,有限元法是很难求解的。此外,有限元法在模拟涂层结构和超薄结构问题时,会导致畸形单元的情况。边界元法作为近年来具有很强竞争力的数值模拟技术,正好弥补了有限元法的这些缺点,并具有降低所求问题维数的优点,目前已广泛应用于稳态和瞬态力学问题,无限声场、磁场模拟等线性问题及各种非均匀材料与非线性问题。特别是,边界元法所求物理量的梯度计算公式可以解析地从基本积分方程中导出,因此求得的物理量梯度值与其物理量本身具有同样级别的精度,这是基于内部网格的数值方法(如有限元法)所难以实现的。然而,不同于有限差分和有限元方法,边界元法涉及奇异核积分,这是由所研究问题的控制微分方程的基本解(及其导数)所引起的,对它的有效处理是边界元法实施的关键。时至今日,奇异积分的分析研究仍然是边界元家族的难点和重点,这是方法本身的属性所决定的。虽然边界元法中已发展了许多处理奇异积分的技术和方法,但它们都存在理论推导繁复,计算量大,不易编程等缺点。不同于现有研究,本文提出稳定温度场问题和弹性力学问题的辅助边值问题法,其思想是构造与原边值问题具有相同解域的辅助边值问题。辅助边值问题具有已知解,因此通过求解此辅助边值问题可获得边界积分方程的系统矩阵,然后用于求解原边值问题。值得注意的是,在求解原边值问题时,不再需要计算系统矩阵,因此辅助边值问题法的效率并不差。辅助边值问题法避免了强奇异积分的计算,适合任何几何单元和任何高价插值下的数值实施。具有数学理论简单、程序设计容易、计算精度高等优点,为坐标变量梯度边界积分方程的求解提供了一个新的途径。