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图的几种N(p,q)标号问题与图的两类染色问题

曹萌萌  
【摘要】:图的标号问题是图论中的一类重要问题,它研究图的各类剖分问题,其各种问题都有广泛的应用背景.其中一个问题的理论研究背景是频道分配问题.灵敏度较高的基本频道分配问题要求相互干扰的站台获得的频道不同,干扰同一站台的频道之间不能相差太小,转化为图论问题就是要求相邻的点获得的标号不同,同一点的邻点标号要有间隔.基于此,Griggs和Yeh在1992年提出了著名的L(2,1)-标号问题;孙磊老师于2008年提出了邻域限制标号问题. 定义1对于正整数k,图G的一个k-L1,2-标号是满足以下条件的一个映射c:V(G)→{0,1,2,…,k}, (1)若uv∈E(G)则c(u)≠(v); (2)(?)u,v∈V(G)若(?)w∈V(G)使得u,v∈NG(w)则|c(u)-c(v)|≥2.使得图G有一个k-L1,2-标号的最小的正整数k称为图G的邻域限制标号数,记为L1,2(G). 基于以上的研究,本文给出了两种可应用于图的频道分配问题的非完全邻域限制标号SN(p, q)和完全邻域限制标号TN(p,q). SN(p,q)标号要求相邻的点得到的标号不同,并且度不小于一定值p的点的邻点得到的标号至少差q,也就是说,相邻的站台得到的频道不同,并且干扰同一站台的频道数达到一定值p时,各频道之间至少差q. TN(p,q)标号不仅要求相邻的点得到的标号不同,度不小于一定值p的点的邻点得到的标号至少差q,而且要求度小于p的点的邻点得到的标号至少差1.即在SN(p, q)标号要求的基础上,还要求干扰同一站台的频道数未达到一定值p时,各频道之间至少差1.其定义如下: 定义2对于正整数k,p,q,其中q≥2,图G的一个k-N(p, q)标号是一个映射c:V(G)→{0,1,2,…,k}, (1)对任意的u,v∈V(G)若u,v间的距离d(u,v)=1,则c(u)-c(v)|≥1; (2)若w∈V(G)且w的度d(w)≥p则(?)u,v∈NG(w),|c(u)-c(v)|≥q.图G的满足(1)(2)的标号称为G的非完全邻域限制标号SN(p, q)使得图G有一个k-SN(p, q)标号的最小的正整数k称为图G的非完全邻域限制标号数,记为sLp,q(G). (3)d(w)p时,任意的u, v∈NG(w),|c(u)-c(v)|≥1图G的满足(1)(2)(3)的标号称为G的完全邻域限制标号TN(p, q)使得图G有一个k-TN(p, q)标号的最小的正整数k称为图G的完全邻域限制标号数,记为TLp,q(G). 易见,当p=△,q=2时,TLp,q(G)=L1,2(G). 图的染色问题也是图论领域中一个重要的部分,因此数学家们相继提出了各类染色问题,并且已深入的研究了许多经典的染色问题,如图的面染色,点染色,边染色和全染色.随着图的染色问题的不断发展,数学家们在传统的染色的基础上添加各种限制,提出了许多新的图的染色问题的分支.其中由赖洪建等人于2006年提出的条件染色就是一个新的分支. 定义3对于正整数k和r,图G的一个正常(k,r)-染色是满足以下条件的一个映射c:V(G)→{1,2,…,k}, (1)若uv∈E(G)则c(u)≠c(v); (2)对(?)v∈V(G),|c(NG(v))|≥min{|NG(v)|,r}. 对于固定的r,使得G有一个正常(k,r)-染色的最小正整数k称为图G的条件色数,记为Χr(G). 图的单射染色问题也是一类重要的染色问题.一个图的单射染色就是要求图中任意一点的邻点获得的颜色彼此不同. 本文第一章主要介绍了文章中所涉及的一些概念,符号和术语以及图的染色问题和图的几类标号问题.在第二章中,我们研究了图的SN(p,q)标号问题和TN(p,q)标号问题,给出了一些图的SN(p,q)标号数和TN(p,q)标号数.第三章第一节综述了条件染色的发展,并给出了一个新结果.第二节主要研究了几类特殊图的正常单射染色.本文主要得到了以下结果: 定理2.2.2若图为完全图Kn,则TLp,q(Kn)=SLp,q(Kn)=(n-1)q. 定理2.2.3若图为完全二部图Km,n, m≤n,n≥p则 (1)若m=n,则SLp,q(Km,n)=TLp,q(Km,n)=(n-1)q+1. (2)若mn,则SLp,q(Km,n)=TLp,q(Km,n)=(n-1)q. 定理2.2.5若图G仅有一个度不小于p的顶点v,且|V(G)|=n,dG(v)=Δ则 (1)(a)若(Δ-1)q≥n-1,则TLp,q(G)=(Δ-1)q;(b)若(Δ-1)qn-1,则TLp,q(G)≤n-1. (2)(a)若(Δ-1)q≥2Δ,则SLp,q(G)=(Δ-1)q;(b)若(Δ-1)q2Δ,则SLp,q(G)≤2Δ. 定理2.2.6图G仅有两个相邻的度不小于p的顶点u,v,且d(u)=d(v)=s,|V(G)|=n. u,v无公共邻点,且NG[v]与NG[v]中的点除u,v外不相邻,则 (1)若q(s-1)≥n-2,则TLp,q(G)=SLp,q(G)=(s-1)q+1; (2)若q(s-1)n-2,则TLp,q(G)≤n-1;(a)若(s-1)(q-2)≥s,则SLp,q(G)=(s-1)q+1;(b)若(s-1)(q-2)s,则SLp,q(G)3s-1. 定理2.2.7若图G仅有两个相邻的度不小于p的顶点u,v,且d(u)=d(v)=s,|v(G)|=n.u,v有m个公共邻点,且除这m个点外,NG(u)与NG(v)中的点互不相邻,则 (1)若(s-1)(q-1)≥n+m-2s则TLp,q(G)=SLp,q(G)=(s-1)q+1; (2)若(s-1)(q-1)n+m-2s则TLp,q(G)≤n-s+m;(a)若(s-1)(q-1)≥s,则SLp,q(G)=(s-1)q+1;(b)若(s-1)(q-1)s,则SLp,q(G)≤2s. 定理2.2.8若图G仅有两个相邻的度不小于p的顶点u,v,其中|V(G)|=n,d(u)=s,d(v)=t,st,若u,v有m个公共邻点,且除这m个点外,NG(u)与NG(u)中的点互不相邻,则 (1)若(s-1)q≥n+m-t,则TLp,q(G)=SLp,q(G)=(s-1)q; (2)若(s-1)qn+m-t,则TLp,q(G)≤n-t+m;(a)若(s-1)q≥t+s,则SLp,q(G)=(s-1)q;(b)若(s-1)gt+s则SLp,q(G)≤t+s. 定理2.2.9若图G仅有两个相邻的度不小于p的顶点u,v,其中|V(G)|=n,d(u)=s,d(v)=t,st若u,v无公共邻点,且NG[u]与NG[v]中点除u,v外互不相邻, (1)若(s-1)g≥n-1则TLp,q(G)=SLp,q(G)=(s-1)q; (2)若(s-1)qn-1,则TLp,q(G)≤n-1;(a)若(s-1)(q-1)≥2t,则SLp,q(G)=(s-1)q;(b)若(s-1)(q-1)2t,则SLp,q(G)≤2t+s-1. 定理2.2.10若图G仅有两个度不小于p的顶点u,v,且u,v有m个公共邻点,且NG[u]∪Ng[v]中除m个公共邻点外其余点两两不相邻,|V(G)|=n,d(u)=s,d(v)=t,st则 (1)若(s-1)g≥n-t+m-1,则TLp,q(G)=SLp,q(G)=(s-1)q; (2)若(s-1)qn-t+m-1,则TLp,q(G)≤n-t+m-1;(a)若(s-1)(q-1)≥t+2,则SLp,q(G)=(s-1)q;(b)若(s-1)(q-1)t+2,则SLp,q(G)≤t+s+1. 定理2.2.11若图G仅有两个度不小于p的顶点u,v,其中|V(G)=n,d(u)=s,d(v)=t,s≥t,u,v无公共邻点,且d(u,v)3,则 (1)若(s-1)g+t≥n-1则TLp,q(G)=SLp,q(G)=(s-1)q; (2)若(s-1)g+tn-1则TLp,q(G)≤n-t-1;(a)若(s-1)g≥s+t+1,则SLp,q(G)=(s-1)q;(b)若(s-1)gs+t+1则SLp,q(G)≤t+s+1. 定理3.1.9若图G为仅有一个最大度点v的连通图,V(G)\{v}的度至多为t,其中0t≤[△/2]-1,△(G)≥3.则xr(G)≤(△-t)2. 定理3.2.5若图G为仅有一个最大度点v的连通图,d(v)=Δ,T=G-{v}为一棵树,其中NG(v)中有p个1度的点,m=(?)|NG(v)∩NT[u]|,则χi(G)≤2Δ-p-m+1. 推论3.2.6图G中存在一点v,d(v)=t≤Δ,T=G-{v}为一棵树,其中NG(v)中有p个1度的点,m=(?)|NG(v)∩NT[u]|则χi{G)≤Δ+t-p-m+2. 定理3.2.7图G为连通的,G中存在两个不相邻的点u0,v0满足G-{u0,v0}=T为一棵树,NG(u0)∪NG(v0)|=n-2,A(G)=Δ,s=(?)|NT[u]∩NG(u0)|,t=(?)|NT[v]∩(NG(v0)|,|V(G)|=n,则 定理3.2.8图G为连通的,G中存在两不相邻的点u0,v0满足G-{u0,v0}=T为一棵树,m=|NG(u0)∪NG(v0)|n-2,Δ(G)=Δ,s=(?)|NT[u]∩NG(u0)|,t=(?)|NT[v]∩(NG(v0)|,|V(G)|=n则 推论3.2.9图G为连通的,G中存在相邻的两点u0,v0满足G-{u0,v0}=T为一棵树,m=|NG(u0)∪NG(v0)|,Δ(G)=Δ,s=(?)|NT[u]∩NG(u0)|,t=(?)|NT[v]∩(NG(v0)|,|V(G)|=n,则χi(G)≤Δ+m-s-t+3. 定理3.2.11图G为连通的,G中存在两个不相邻的点u0,v0满足G-{u0,v0}=Km,n=(X,Y)其中m≥n≥2,且rmax{d(u0), d(v0)}n,NG(u0)(?)X则 定理3.2.12图G为连通的,G中存在两个相邻的点u0,v0,满足G-{u0,v0}=Km,n=(X,Y)其中m≥n≥2,且max{d(u0), d(v0)}n, NG(u0)(?)X,则 定理3.2.13图G为连通的,Km,n是G的生成子图,G0=G\E(Km,n)其中m≥n≥2则χi(G)≤m+n. 定理3.2.15图G为连通的,T是G的一棵支撑树,G0=G\E(T),Δ(T)=Δ(G). (1)若G0为m条匹配边,其中m1条边关联树T中距离为2的点,则χi(G)≤Δ+1+m-m1. (2)若G0为一条长为l的路,则 (3)若G0为一棵树,则χi(G)≤2Δ-1. (4)若G0为一个圈,其中|V(G0)|=n≥3,则


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