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一类分数阶微分方程的数值模拟

高静  
【摘要】:大量的实际问题,如生物细胞的信号传播、神经细胞的反常电子扩散、粘弹性与粘塑性流体的流动,以及地下水渗流等,其流体通量不满足通常的菲克定律,表现出强烈的反常扩散现象。大量实验结果表明,分数阶扩散方程较经典的二阶扩散方程能更准确的刻画上述反常扩散现象。因此,深入探讨分数阶扩散方程的理论,构造高性能数值模拟方法,已成为当前应用数学与计算数学界研究的热点问题。 与二阶扩散问题类似,利用解析方法如傅里叶变换、拉普拉斯变换等,只能获得某些特殊分数阶扩散方程的解析解。但对一般的方程,只能通过恰当的数值方法对分数阶方程离散逼近,求得数值解。但由于分数阶微分算子的非局部性质,导致离散方法的系数矩阵为非稀疏且矩阵元素规律性差,结构复杂。用传统的高斯迭代法求解所需的计算量与存储量分别高达O(N3)和O(N2).当节点个数或未知量个数N很大时,所带来的计算复杂性导致计算时间过长甚至无法进行。构造快速算法业已成为高性能数值模拟分数阶扩散问题的极富挑战性的内容之一。 本文拟从两个方面对分数阶扩散方程设计快速算法。一是借鉴差分方法与交替方向技术的计算简单性质,构造交替方向隐式快速算法;二是基于快速傅里叶变换和间断有限元方法,构造间断有限元快速算法。 1、时间分数阶二维扩散方程初边值问题的快速算法。我们基于Caputo’s导数的定义,在对一阶时间导数向后Euler离散后建立数值积分公式,以此实现对Caputo’s导数的离散,而对二维空间拉普拉斯算子采用交替方向隐式中心差分格式逼近,据此,提出了离散时间分数阶二维扩散问题的交替方向隐格式。该方法结合隐式差分格式良好的稳定性质与交替方向格式的计算简单性质,形成了数值求解时间分数阶扩散问题的快速算法。本文的数值分析与数值实验结果表明,该格式无条件稳定,差分解具有空间2阶、时间1阶的最优收敛速度,空间计算量由传统格式的O(N3)降低至O(N2),存储量明显减少。数值实验也验证了该格式的良好性质。 2、一维空间分数阶扩散方程的齐次边值问题的快速算法。利用Riemann Liouville分数阶导数的半群性质与伴随性质,提出了等价于该扩散方程的分数阶间断Galerkin变分形式,证明该变分形式满足Lax Milgram定理的条件,从而证明了变分形式在分数阶Sobolev空间H1β 2中解的存在唯一性与稳定性。据此,构造了数值离散上述空间分数阶扩散方程的间断有限元格式,并证明了格式解的存在唯一性。通过严格的数值分析,证明了间断有限元格式解具有对真解的最优H1β2模收敛精度,收敛阶为O(h1+β2).在共轭问题解正则性的假设下证明了该格式的最优L2模误差估计,误差阶为O(h2)。 在对间断有限元方程求解过程中,我们发现刚度矩阵可分解为一分块-对角矩阵、一分块-Toeplitz矩阵与一个具有特殊结构的满阵的加和,而该特殊的满阵可通过适当的变换表达为分块-Toeplitz矩阵。我们还注意到快速傅里叶变换在求解具Toeplitz系数矩阵的矩阵-向量积时的计算量为O(N logN)。从而,通过引入快速傅里叶变换,结合共轭梯度法我们构造出了计算量为O(N logN)的间断有限元快速算法,相应的存储量为O(N)。与传统算法的计算量O(N3)和存储量O(N2)相比,本文的快速算法具有明显的优势。


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