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各向异性椭圆界面问题的间断有限元方法

王峰  
【摘要】:各向异性界面问题可由下列具有间断系数的二阶椭圆方程刻画,满足 其中,间断系数的间断域Γ称之为界面,B为二阶张量矩阵表征各向异性介质。在界面上,解需满足界面跳跃条件(守恒律)。若界面充分光滑,则界面问题的解在各系数光滑区域上也是光滑的,但由于解在界面上的跳跃导致了解的整体光滑性差,仅为H1+α(),0≤α 1。界面问题在准确表达诸如由复杂地质结构或流体多相性导致的间断渗透系数的混溶驱动过程和渗流过程,以及具有不同密度的材料所构成的复合材料等实际物理过程中,起到了至关重要的作用。因此,对该类问题建立有效的数值模拟方法与严格的理论分析体系是十分必要的。 但由于界面问题解的整体光滑性低及界面形状的不规则,难以建立恰当的数值模拟方法与系统严谨的数值分析理论。 本文在前人工作的基础上,在构造适当的浸入界面有限元空间的基础上,结合间断有限元思想,提出了的数值求解上述各向异性二阶椭圆界面问题的部分间断有限元方法。主要内容为: 1、对区域作矩形网格剖分。在界面单元上,将界面跳跃条件与单元顶点函数值作为函数的构造条件,得到了单元上沿界面线分片的双线性函数空间,证明了界面单元分片双线性元空间关于函数构造条件的唯一可解性。而在非界面单元上,采用熟知的Lagrange双线性插值函数空间。由此,构成整体的浸入界面有限元空间。 2、为减弱浸入界面有限元空间中函数在界面单元边界上的强烈非协调性,我们在界面单元边界引入惩罚项,并结合间断有限元的思想,构造出了数值模拟各向异性椭圆界面问题的间断有限元格式,说明了格式的相容性,并证明了格式在浸入界面有限元空间中解的存在唯一性。 3、采用Strong引理,尺度论证,迹定理, Young’s不等式以及对偶论证等数值分析技术,证明了浸入界面有限元解具有最优H1和L2逼近精度,收敛阶分别为O(h)和O(h2),很好地解决了多孔介质中矩形剖分下各向异性渗流模型的数值模拟.


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