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几类分数阶微分方程与微分包含解的存在性

史爱芝  
【摘要】:随着科学技术的不断发展,在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等科学领域出现了各种各样的非线性问题,这些非线性问题日益引起了人们的广泛重视.而非线性泛函分析为解决这些问题提供了富有成效的理论工具.非线性泛函分析是既有深刻理论又有广泛应用的研究学科,它以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景,建立处理非线性问题的若干一般性理论和方法,而且能处理实际问题所对应的各种非线性积分方程,微分方程和偏微分方程中发挥着不可替代的作用.非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一.而非线性泛函分析是非线性分析中的一个重要分支,因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重视.非线性微分方程边值问题源于应用数学、物理学、控制论等各种应用学科中,是目前非线性泛函分析中研究最为活跃的领域之一,而非线性分数阶微分方程和分数阶微分包含的边值问题又是近年来讨论的热点,是目前微分方程研究中的一个十分重要的领域. 本文运用压缩映象原理、不动点和对角化过程研究了几类带有积分边界条件的分数阶微分方程与微分包含问题,得到了这些问题解的存在性,并把得到的主要结果应用到非线性微分方程的边值问题中. 本文共分为三章. 在第一章中,我们研究了有限区间上带有积分边值条件的分数阶微分方程解的存在唯一性问题,其中,α0,β≥0,y:[0,1]→R,g:[0,1]×R×R→R连续且满足Lipschitz条件q1,g2∈L1[0,1]且满足Lipschitz条件 我们运用压缩映像原理得到了问题(1.1.1)-(1.1.2)解的存在唯一性.最后我们给出了一个具体的应用举例.本章结果推广和改进了文[8,37]的结果.目前研究的分数阶微分方程的非线性项一般含有一个或两个变元,如f(t),f(t,y(t)),且一般只得到解的存在性.本文引入分数阶导数作为第三变元,使非线性项变为f(t,y(t),c Dtθy(t)),还得到了解的存在唯一性. (详见第8页注1.3.5) 在第二章中,我们讨论了带有积分边值条件的分数阶微分包含解的存在性,其中,F:J×E→2E\{(?)},g,h:J×E→E的函数,E是Bananch空间.我们运用Bohnenblust-Karlin不动点定理得到了边值问题(2.1.1)-(2.1.2)解的存在性.并给出了相应的例子.分数阶微分包含在实空间上的两点,三点和多点边值问题均有大量作者进行研究,但对抽象空间上的积分边值问题研究的还不多,本文弥补了这一不足.本文把研究空间从实空间推广到抽象空间,在比较弱的条件下得到了解的存在性. (详见第18页注2.3.2) 在第三章中,我们讨论半直线上的分数阶微分方程解的存在性.其中,cDαy(t)是Caputo型微分,f:J×R→R是连续函数,g,h∈L1(J×R,R).α,β是常数.我们运用Schauder不动点定理和对角化过程得到了边值问题(3.1.1)-(3.1.2)解的存在性.并应用到具体的微分方程中.由于边界条件的更一般化,本文主要结果推广和改进了文[38]和[39]的结果. (详见第26页注3.3.3)


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