几类微分（积分）方程解的动力学性质

【摘要】：随着科学技术的进步与发展,微分方程作为描述自然现象变化规律的一种有力工具,广泛出现在许多重要的应用领域,包括物理学、天文学、生物学、医学、种群动力学、经济学、工程和自动控制等。然而对大多数微分方程来说,寻求其通解是十分困难的,有时甚至是不可能的。19世纪30年代,C. F. Sturm把对多项式根的分布问题的研究这种定性思想应用到微分方程,获得了重要的结果—解的零点分布的著名的Sturm比较定理和分离定理。19世纪末,J. H. Poincare和A. M. Lyapunov把这种定性思想应用于对天体力学一般问题的研究,该研究不是着眼于先求出方程的解再研究解的性质,而是在不求出解的情况下,通过直接考察微分方程的结构、系数等从而对解的性质做出判断,也就是着力从微分方程本身去分析和推断它的解可能具有的种种特性,比较系统地发展了一套研究非线性微分方程的定性方法。庞加莱的《论微分方程所定义的积分曲线》和李雅普诺夫的《运动稳定性的一般问题》是定性理论中的经典著作。从此开启了从理论上来探讨微分方程解的动力学性质的时代。 该篇博士论文分为六章,其内容及结构是如下组织的。 第一章为绪论,简要回顾了微分方程定性理论(如振动性理论),稳定性理论的发展与现状,同时介绍了本文的主要工作。 第二章利用广义Riccati技巧、积分平均技巧以及微分不等式理论,讨论了一类线性哈密顿系统及一类偏泛函微分方程的振动性,得到了若干新的振动准则,所得结果推广和改进了相应文献中的已有结论,并通过一些实例,说明了相应准则可应用于以前所不能处理的若干情形。 众所周知,积分不等式在研究微分方程和积分方程解的各种性质中起着十分重要的作用,而一般的,以往人们大多利用积分不等式来研究一些积分方程解的有界性质及解的渐近性行为,Lipovan在[62]中利用积分不等式研究了两类微分系统解的全局存在性。 第三章我们推广了几类Gronwall-Bellman-Ou-Iang型积分不等式,并研究了两类微分系统解的全局存在性,所得结果推广了Lipovan [62]中的结果。 第四章我们给出了几类二次积分不等式和几类二重积分不等式,创新之处是利用这些积分不等式研究了一类非线性时滞微分方程(系统)和几类非线性Volterra型时滞积分—微分方程(系统)解的稳定性问题。 Akinyele在文[78]中引入了k度Ψ-稳定的定义；Morchalo在文[89]中引入了非线性微分系统x′=f(t,x)的零解Ψ—稳定、Ψ—一致稳定和Ψ—渐近稳定的定义。 第五章第一节我们研究了非线性微分系统x'=f{t,x), x'=f{t,x)+g{t,x)及非线性Volterra型积分—微分系统x'=f(t,x)+integral from n=0 to t F(t,s,x(s))ds,给出了它们的零解Ψ—(一致)稳定的条件。其创新点和难点是线性微分系统x′=A(t)x的基本解矩阵为Y(t)的形式,而非线性微分系统x'=f(t,x)的基本解矩阵为Φ(t,t0,x0)的形式。基于一类积分不等式,我们在第二节研究了一类非线性时滞Volterra型积分—微分系统的Ψ—(—致)稳定性。 第六章我们给出了几类积分方程解的有界性及渐近性行为的结论,作为对第三章,第四章所推广积分不等式的一般应用。 最后,我们对今后在常(偏)微分方程、积分方程以及在时标动态方程、分数微分方程和差分方程等领域的相关研究工作进行了展望。