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三阶微分方程解的振动性

孙逢垒  
【摘要】:微分方程解的振动性是现代数学中一个既有深刻理论意义,,又有广泛应用价值的研究方向,它以数学的各个领域中出现的方程问题为背景,建立处理许多微分方程问题的若干一般性理论和方法.它的研究成果在许多学科领域都有广泛的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究、人口统计等问题都可以化为微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.常微分方程理论的应用己经取得了很大成就.但是,它现有的理论还远远不能满足需要,有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善. 目前,微分方程理论主要包括常微分方程理论,偏微分方程理论,微分方程稳定性理论及应用,哈密顿系统理论和微分算子的谱理论等.由于微分方程解的振动性问题已经引起国内外数学界和自然科学界的高度重视,因此,对微分方程理论及其应用的研究无疑具有重要的理论意义和应用价值. 微分方程解的振动性问题是微分方程理论中的一个重要课题,由于其重要的理论价值和物理背景,一直被许多研究者所关注,并取得了一定的研究成果.在微分方程理论和实际问题的推动下,微分方程问题的研究发展非常迅速.而三阶微分方程问题又是近年来讨论的热点之一. 本文主要研究三阶中立型微分方程和三阶时滞微分方程的振动性以及具有连续分布滞量的三阶中立型微分方程的振动性,通过广义的Riccati不等式和积分求平均的方法,讨论其在不同条件下解的振动性.本文共分为四章. 第二章,我们主要讨论三阶中立型微分方程{α(t)[x(t)+p(t)x(δ(t)))"]α}'+q(t)f(τ(t)))=0, t≥t0和{α(t)[(x(t)-p(t)x(δ(t)))"]α}'+q(t)f(x(τ(t))=0.t≥t0解的振动性,所满足的条件是:(H1)a(t),q(t),p(t),τ(t),δ(t),f(t)∈C[t0,∞),a(t),q(t),τ(t),δ(t)大于零,0≤p(t)≤p1,α'(t)≥0,∫(-t)=-f(t); (H2)当x≠0时,是两个正奇数的商,M是一个正数;其结论推广改进了B.Baculikova和J.Dzurina在文献[6]中研究的三阶中立型微分方程{a(t)[(x(t)±p(t)x(δ(t)))"]γ}'+q(t)xγ(τ(t))=0,t≥t0的振动性. 第三章,我们研究了三阶时滞微分方程[a(t)ψ(x(t))(x"(t))α]'+q(t)f(x(τ(t)))=0,t≥t0 解的振动性,该方程所满足的条件如下: (A1)(?)是两个正奇数的商,q(t),Τ(t)∈c《t0,∞),(-t)=-f(t),φ(-t)=φ(t); (A3)q(t)≥0,对任一t*≥t0,q(t)在[ι*,∞)的值不恒为零; (A4)当ι≥t0时,τ(t)≤t,limt-∞τ(t)=∞; (A5)ψ,∫∈C1[t0,∞),ψ(x)0,当x≠0时,xf(x)0,并且存在两个正数K和L使得 所得的主要结果推广改进了文献[37]中所研究的三阶拟线性时滞微分方程[a(t)(x"(t))α]+q(t)xα(τ(t))=0解的振动性. 第四章,我们研究了具有连续分布时滞量的三阶中立型微分方程解的振动性,其中t≥t0.我们假设以下条件成立: (A2)(?)是两个正奇数的商,φ(t)0,并且存在一个正数L使得φ(t)≤L-1 (A3)p(t,μ)∈C(t0,∞)×[a,b],R),0≤p(t)≡∫abp(t,μ)dμ≤p≤1; (A4)τ(t,μ)∈C([t0,∞)×[a,b],R)对μ来说不是减函数,并且使得 (A5)q(t,ξ)∈C([t0,∞)×[c,d],(0,∞)); (A6)σ(t,ξ)∈C([t0,∞)×[c,d],R)对ξ来说不是减函数,并且(A7)f(x)∈C(R,R),当x≠0时,f(x)/xα≥δ0 其结论推广改进了文献[26]中所研究的具有连续分布时滞量的三阶中立型微分方程的振动性.


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