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关于时间尺度上几类积分不等式和动力方程解的定性分析

冯青华  
【摘要】:对于许多微分方程、差分方程以及关于时间尺度上的动力方程,如果不能得到其精确解,则对其解的定性分析如有界性、唯一性、对初值和参数的连续依赖性等将显得比较重要。Gronwall-Bellman型不等式在对解的有界性、唯一性、对初值和参数的连续依赖性研究方面起着不可替代的作用。对该类不等式,已有不少研究成果,但我们注意到目前对关于时间尺度上的Gronwall-Bellman型不等式以及关于不连续函数的Gronwall-Bellman型不等式的研究成果并不十分丰富。 对微分方程解的振动性和渐近性研究,近几十年来出现了大量研究成果,但这些研究成果大都是针对整数阶微分方程的,而关于分数阶微分方程的振动性研究成果鲜见报道,同时对时间尺度上三阶带阻尼项的动力方程解振动性和渐近性的研究也相对较少。 此外,对某些具有特定形式的微分方程,可以求得其精确解。目前,出现了大量针对微分方程精确解求解的方法,如Exp函数方法,Jacobi椭圆函数方法,齐次平衡法等。但对微分-差分方程精确解的研究成果并不十分丰富,有待于进一步研究。 基于以上分析,本论文将做如下几个方面的研究。第一章讨论了总的研究背景,并给出了时间尺度理论的一些重要的定义和定理,第二章主要研究了几类时间尺度上Gronwall-Bellman-Volterra-Fredholm型不等式、时间尺度上非线性Gronwall-Bellman型延时积分不等式、时间尺度上非线性Pachpatte型延时积分不等式,基于这几类不等式,推导并建立了未知函数的界,并在此基础上研究了一些具有特定形式的动力方程解的定性性质。这些结论一方面比文献中已有的Gronwall-Bellman型积分不等式或离散不等式具有更一般的意义,另一方面也统一了连续和离散的分析。第三章主要利用时间尺度理论,并结合利用广义Riccati技巧、不等式技巧和积分平均技巧研究了时间尺度上带阻尼项的三阶动力方程和三阶延时泛函动力方程解的振动性和渐近性,得出了一些新的解振动和渐近的充分条件,并给出了相关的例子;关键之处在于对阻尼项的处理用到了时间尺度上的指数函数。第四章主要利用广义Riccati技巧并结合不等式技巧和积分平均技巧研究了几类带阻尼项和不带阻尼项的含右边Liouville导数的分数阶微分方程解的振动性,得到了一些新的振动规则,并给出了相关的例子。第五章主要建立了一些不连续函数情形下的Gronwall-Bellman型积分不等式,并将它们应用于某些具有特定形式的关于不连续函数的微分或积分方程解的有界性分析,所建立的各种不等式推广了文献中已有的结果。第六章我们将求解微分方程精确解的Riccati子方程方法推广到求解微分-差分方程的精确解。利用该方法,结合数学软件Maple,得到了Hybrid点阵方程的若干双曲函数形式解、三角函数形式解、有理函数形式解,以及一类(2+1)维Toda点阵方程的变系数精确解


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