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二维黎曼流形上调和函数的几何性质

王新敬  
【摘要】:在偏微分方程中,椭圆方程是一类重要的方程,其中调和函数方程是椭圆方程中最经典的代表之一.方程的解是大家比较关心的问题,解的几何性质是来描述解的性质的一个方面.几何性质主要研究的是水平集的凸性和曲率估计等方面.本文将区域限制在二维黎曼流形上,考虑调和函数最速下降线曲率和水平集曲率满足的方程,最终利用极值原理来刻画流形上调和函数的几何性质. 本文主要结果为: 定理1.u是定义在具有常高斯曲率K的黎曼流形M2中无临界点的调和函数,J是u的最速下降线曲率,设φ=|▽u|1J,有如下结果成立:△φ+2Kφ=0和 定理2.u是定义在具有常高斯曲率K的黎曼流形M2中无临界点的调和函数,J是u的最速下降线曲率.如果K≤0,那么φ=|▽u|-1J在区域的边界取到非负极大和非正极小;如果K≥0,那么|J|在区域的边界取到极小值. 定理3.u是定义在具有常高斯曲率K的黎曼流形M2中无临界点的调和函数,k是u的水平集的曲率,那么 如果K≥0,那么|k|在区域的边界取到极小值.


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