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Banach空间的框架及原子分解

刘宇  
【摘要】: Banach框架和原子分解是框架理论的一个新的重要分支,1991年Grochnig[5]在Banach空间上把框架的概念一般化而称为原子分解,且定义了Banach空间的一般框架为Banach框架。目前Banach空间的框架及原子分解的理论发展的较为完善,但在某些方面仍存在许多的问题尚待探讨。本文主要是对Banach框架和原子分解的稳定性,完备性及判定等方面进行了研究。 本文共分为五部分,第一部分是预备知识,主要介绍了与本文有关的几个定义;第二部分讨论了Banach框架和原子分解的稳定性,受文[14][15]的启发进一步研究了Banach框架的稳定性,改进并推广了原文献的结果,同时对Banach空间的原子分解的稳定性进行了讨论,得到了一系列结果。主要结果: 定理2.9:设X,Y为Banach空间,Xd为BK-空间,((xn)n∈N,S)为X关于Xd的Banach框架,界为A,B,U:X→Y为线性同胚,又设(yn)n∈N(?)Y′且满足:存在β≥0,M≥0使对Vy∈Y有 ||(y,yn)n∈N||Xd≤β||(U-1y,xn)n∈N||Xd+M||y||Y,如果βB+M||U||<A,并且Vy∈Y,(y,yn)n∈N∈N(S),那么(((U-1)′xn+yn)n∈N,US)为Y关于Xd的Banach框架,界为 (A一βB)||U||-1-M,(1+β)B||U-1||+M. 定理2.17:设X,Y为Banach空间,Xd为BK-空间,((yn)n∈N,(xn)n∈N)为X关于Xd的原子分解,界为A,B,U:X→Y为线性同胚,又设(zn)n∈N(?)Y′满足:存在β≥0,M≥0使对Vg∈Y有 ||(y1zn)n∈N||Xd≤β||(U-1y1yn)n∈N||Xd+M||y||Y,如果βB+M||U||<A,并且(xn)n∈N和(zn)n∈N是强不交的,那么(((U-1)′yn+zn)n∈N1(Uxn)n∈N)为Y关于Xd的原子分解,界为 (A一βB)||U||-1-M,(1+β)B||U-1||+M. 并由上述两个定理得到一列有意义的推论. 第三部分给出了Banach框架和原子分解的一个充分条件以及把Hilbert 空间框架的理论推广到Banach空间,从而讨论了Banach框架的性质.同时还 研究了Banacll空间中有限个向量满足一定的条件仍为一个Banach框架,主 要结果: 引理3二1:设X是弱序列完备的Banach空间,M儿。。为X的关于X。 的以D为界的Bessel序列,…*叶。范数稠于X’下d为满足性质广)的BK- 空间,如果 U:X H Xd定义为 U*)=(<d,y。>儿。N,那么 U是有界线性算 子,Ra。U是Xd的闭子空间且kerU=N* 定理3二3:设X是弱序列完备的Banach空间,偷儿。。为X的关于X。 的以D为界的Bessel序列,切*叭。范数稠于X’*。为满足性质门的BK- 空间,如果R。U在x中是可余的,则存在有界线性算子尸:凡一x,使 (切J昨儿S)为X关干X。的Banach框架. 定理3.19:设 X是 Banach空间,y;E X’,l二卜··。, M=《V)L1)上二{EX:叫x)=0,e=1…几}, 如果M是可余的,那么存在X的闭子空间方,且存在BK-空间Xd及有界线 性算子 S:X。一 X;使((yn)L/)是 X关于 X。的 Banach框架. 定理3.20:设X是Banach空间,Xd为满足性质卜勺的BK-空间, (伯儿。儿J)为 X关干X。的Banach框架,界为Ak,如果Vj 6 N,那么伯*/j 或是不完全集或是存在*义空间凡以及存在S:孔叫X,使(偷儿力,的是 X关于 X。的 Banach框架. 定理3.24:设X是弱序列完备的Banach空间,(k*爬儿切*爬川为X 的一个弱framinz.如果恤儿叩为X的关干X。的以D为界的Bessel序列, (yl)。。厂范数稠于X’札为满足性质(”)的BK-空间,则(*。儿。N;切小。N)为 X的关于Xd的一个原子分解. 第四部分是Banach空间的框架和原子分解的构造.在这一部分给出了 Banach空间的基成为原子分解的条件,并且讨论了Banach框架和原子分解之 4 L > 间的关系,主要结果为: 定理4.8:设X是Banach空间,级数*盅x。是无条件收敛,Xd— 严,饥沁*二x,如果《蜘***,《x*)*〔*》为x关于X的原子分解,则存在 有界线性算子 T:Xd一 X,使(偷)昨Nf)为 X关于 Xd的 Bm肌h框架. 定理 4·11:设 X是 Banach空间,级数z之p。在 X中是弱无条件收敛, Xd二CO,(9n)。。N G X


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