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几类微分方程边值问题的正解

孙彦  
【摘要】: 伴随着科学技术日新月异的发展,在数学,物理学,化学,生物学等许多科学领域中新的非线性问题不断出现,这些非线性问题已日益引起人们的广泛重视。而非线性常微分方程奇异边值问题的研究,作为非线性问题中的一个困难而有趣的方面,在气体动力学,流体力学,边界层理论及传染病模型等实际问题中有着广泛而重要的应用。爱尔兰著名的数学家O’Regan D。在专著[6]中对此类问题做了系统而详细的论述。一方面实际问题中不断涌现出大量的微分方程非线性边值问题需要人们去深入研究,另一方面近几十年来非线性分析有了巨大发展,其丰富的理论和先进的方法日渐成熟,所以,运用几十年来非线性分析中发展起来的多种先进的分析工具,来研究微分方程奇异边值问题是一个具有浓厚兴趣同时可希望获取有意义的新成果的研究课题。 本文利用锥理论,不动点理论,Krasnoselskii不动点定理等研究了几类微分方程奇异边值问题解的情况,得到了一些新成果。其中不少结果已在国内外核心刊物上接收或发表,如澳大利亚的《ANZIAM Journal》(SCI journal),印度的《Far East J.Applied Mathematics》,国内的《曲阜师范大学学报》等。根据内容本文分为下列四节: 在第一节中,我们主要利用不动点指数理论研究了奇异非线性Sturm-Liouville边值问题(1.1.1)当λ在某一范围内取值时,上述边值问题至少存在一个正解的充分条件,其中,连续,且p(t),g(t)在t=0或t=1处可以是奇异的。 为了方便,列出本节的基本假设: (*)P。c*0,Q,N,十叫),0<年而<+。,且存在。b引几Q,使得 0< f: p(t)d。<+OO; (死 人士,叫Ec仰,1]xp+①,【 十一),叭OEq(0,1),叮十一)且 0<术G(t;t)P(t)g(t帅<十OQ. 我们得到了如下结果: 定理 1.3* 设(HI);问)成立.+。果 以方) 0<FO二limsuPC叶。+PP;。[。;]见日日<L’, lIZ.11 fi<l“<F_=ill Inl 工lfl——W -t-OQ. x-+co t6la力11 则对任意的 /if\ AEI三>,一三】,(1.3川 ‘”-\IFAn’L尸0 j’ 边值问题阻.1.1)在K中至少有一个正解. 定理1.3.2 设(HI),队)成立.如果 民)0 S Foo二 tim suPc>+N m盯;中,且]则<L且, 上Iz.J1 U<t”<上n=llin fill ffilll——W -f-OO. 2叶0十还地NJ 则对任意的 /11\ A E IH.drl.(1,3.12) -*凡’L厂”j’ 边值问题*.1对在K中至少有一个正解. 其中,定理 1.3二与定理 1.3.2中的 l‘,L4定义4。下: /仆、“/f二、 l“=Inllll thlt.SIDIS)OISldSI.L-=Ims.nl lerIT.SjDtslQ18JdSI \tela,b] Ja””I\t曰0,IJ01 注 1.3.1 由定理上3*;我们可以看出 FO,…不需要是超线性或次线性 的.所以定理二S.1推广并改进了俄14一16]中的相应结果.事实上,如果定 理1.3.1中的条件(则由下在条件之一代替: 2 (i)Foo二①;F‘>。,A (,咖), (1孟 凡三co,尸‘=O,朽(0,十 ), (iii) Foo>l一‘>0,F*二*,入* (ie,十①)· 则定理1.3*的结论仍成立. 注 1.3.3 由定理 1.3.1和定理 1.3.2的证明可以看出本节的主要结果难 以用锥拉伸和压缩不动点定理得到.例 1.3.1和伊]1.3.2表明我们不仅获得了 边值问题*.1.l) A解的存在防,也得到了入的具体取值区间,这是以往文献 卜问;Iml)所没有做多的. 注 1.3* 容易知道,+。果厂是超线性的,即,F‘=0;凡二十co;或 次线性的,即,凡一十一且*一二O,则对任意的入E讯十一,边值问题 (1.1*)至少有一个正解.特另地,4口呆P(t)二1,g(t)F(t,*)=a(t)f() 定理 1.31和定理 1,3.2的结论仍成立.因此我们从本质上推广了 MaUS]中的主要 结果.我什1的结论对非奇异的情况 如 Henderson你和 YVang [14门也是成 立的. 在第二节中,我们主要运用锥上的不动点理论和分析的技巧,在对非线 性项没有任何单调性假设的情形下,研究了下列更具一般形式涉及函数类更 广泛的微分方程 ZU十地(L爪L;。)=0(2.1.5) 在边值条件下 z仰二。门二0;仔1*。


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