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几类奇异微分方程边值问题的正解

王新华  
【摘要】:近年来,在数学,物理学,化学,生物学,医学,经济学,工程学,控制论等许多科学领域出现了各种各样的非线性问题,在解决这些非线性问题的过程中,逐渐形成了现代分析数学中一个非常重要的分支-非线性泛函分析。它主要包括半序方法,拓扑度方法和变分方法等内容,为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具,尤其在处理应用学科中提出的各种非线性问题中发挥着不可替代的作用。到上个世纪五十年代,非线性泛函分析已初步形成了理论体系。在无穷维空间中,用泛函分析的理论来处理非线性问题有着无穷的潜力。1921年,L.E.J.Brouwer对有限维空间建立了拓扑度的概念,1934年,J.Leray和J.Schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场。后来,E.Rothe,M.A.Krasnosel'skii,P.H.Rabinowitz,H.Amann[1],K.Deimling[2]等对拓扑度理论,锥理论及其应用进行了深入的研究.国内张恭庆教授[3],陈文源教授[4],郭大钧教授[5]-[11],定光桂教授[12],孙经先教授,赵增勤教授,刘立山教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就。 微分方程边值问题的研究已有不少结果,其中近来的奇异边值问题的探讨尤为活跃。奇异边值问题在核物理,气体动力学,流体力学,边界层理论及传染病模型等实际问题中有着广泛而重要的应用。爱尔兰著名的数学家Donal O'Regan在专著[13]中对此类问题做了系统而详细的论述。一方面实际问题中不断涌现出大量的微分方程非线性边值问题需要人们去深入研究。另一方面,近几十年来非线性分析有了巨大发展,其丰富的理论和先进的方法日渐成熟。所以,运用几十年来非线性分析中发展起来的多种先进的分析工具来研究微分方程奇异边值问题是一个具有浓厚兴趣同时可希望获取有意义的新成果的研究课题,在此基础上,本文深入研究这些问题。 本文利用锥理论,不动点理论,上下解方法研究几类奇异微分方程边值问题解的情况,得到了一些新成果。根据内容本文分为五节: 第一节引言叙述了本文所研究的奇异微分方程边值问题的历史及现 状.处理微分方程解的存在性,其中一个重要的分支是用非线性泛函分析 的方法证明解的存在性,即将微分方程转化为一个算子方程,用非线性泛函 分析的理论证明算子方程有不动点,从而解决微分方程解的存在性问题. 并对所用的有关定义及引理作了简单介绍. 在第二节中,我们主要利用上下解方法研究二阶奇异微分方程边值问 题 u“+f(t,。(t))=0,(1) a。(0)一口。‘(0)=0,,。(1)+占。,(1)=0.(2) 正解的存在性,其中a,口,占,守全。且△:二a7+面+口守0,允许f(亡,司在 ‘=0,1处奇异.由于边界条件复杂了,问题的解决也变的困难了. 我们得到了如下结果: 定理2.1设 (Hl)f任C((o,1)x{o,co),{0,co)),f:(0,1)x(0,co)一(o,co),f(亡,。)兰 ,(‘)。(。),其中。。C([o,co),(o,co)),又。j01e(s);(s阿sco. (HZ) ja,使殆e(‘);(‘)max。。l。。(。),al。(。)d‘三。·其中 {a‘,o三‘三‘/2, g。(t)=戈 La(1一t),1/2兰云兰l· (H3):o口a,使}}对。e(s)min。。[,口(,),。If(s,。)dsllo全口, 则边值问题(1)(2)至少存在一个正解二〔C‘【o,1」门CZ(0,l)· 注2.1本文较{23],(Hl)中只要求o.[0le(s);(。)ds00.条件明显减 弱了. 注2.2由于边界条件的推广,若继续使用t231的方法证明算子A的连 续性,将有很大的困难.与【2al不同,本文利用构造一紧算子列来逼近A, 从而证明了A的全连续性. 推论么1若(HI)成立,f(‘,司关于。单调增,另有O口a使 芜’G(‘,5,“一,“·三一 1llaX t〔[0,1} 芜’G(‘,·)“一。。‘·,,“占全“, 则(1)(2)存在正解。任C‘{0,11 n CZ(o,1),}}。}I。任田,a{. 夕、夕 定理2.2设(Hz)(HZ)成立,同时f(t,o)不恒为零,t任(o,1),则(l)(2) 存在正解。〔C,{0,1]门CZ(o,1),l,。fl。三a. 在第三节中,在对f(司没有超(次)线性的限制下,通过构造一个特殊 的锥,利用逼近方法及不动点指数理论得到了一类奇异二阶边值问题的 }“““,+““,“““,’一o, L“(0)=“(1)=0. (9) Cl[0,l]正解.其中。(约在t=0,1处奇异,同时f(司在。二0处也有适当 的奇性,即hm二一0+f(司=+co.我们得到了如下结果: 定理3.1设 (Hl)f〔C((O,+oo),[0,+oo)),a(艺)cC((0,1),【o,+co)). (HZ)对VorlRI有 。芜‘·(·)·(·),!·‘·,一Rl,“·+co· 并且存在R,使 兀‘·(·)·(·,‘l·‘·,R,R,“·“ 其中f{:1,Rl」二:maxx。rr,,*:]If(x)I· 则边值问题卿至少存在一个正解。任C‘[0,l]U护(0,1). 在第四节中,通过构造一个特殊的锥,利用不动点指数理论研究在f(u) 是超线性的情况下,建立了奇异泛函微分方程边值问题 。“+a(亡)f(。(h(t)))=O,艺〔(0,1), (17) 。(0)=。(l)==0 两个正解的存在性定理,其中h(约在云=0,艺二1 f(。)在。=0处也有适当的奇性?


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