特殊子群对有限群结构的影响

【摘要】：子群对群的结构有着重要的影响,通过对他们性质的研究往往可以获得大量关于原群结构的重要信息。因此子群在群论研究中占有非常重要的地位。特别是在研究有限群时,利用一些特殊子群例如:Sylow子群、Sylow子群的极大子群、极大子群、2-极大子群、Hall子群等的性质来刻画有限群的结构更具有实际意义。国内外许多群论学者都做过这方面的工作,如文献[1],[4],[8],[9]等。本文在文[1]和[8]的基础上又做了一些工作。全文分为四章。 第一章是本文的绪论部分。主要介绍了有限群的研究状况以及本文的主要工作。 第二章主要是利用一些特殊子群的共轭置换性得到了有限群成为可解群、交换群的一些充分条件,改进和推广了文[1]和[4]中的部分结果,有些结果是新的。主要结果如下: 定理2.3.1 设H是群G的偶阶π-Hall子群。若H及H的每个Sylow子群均在G中共轭置换,则G可解。 定理2.3.2 设H是群G的偶阶π-Hall子群。若H的某个极大子群M在G中共轭置换,且对任意x,y∈H,只要(o(x),o(y))=1,就有[x,y]=1,则G可解。 定理2.3.3 设H是群G的偶阶π-Hall子群。若N_G(H)的任一子群均在G中共轭置换,则G可解。 定理2.3.4 若有限群G的每个极大子群均在G中共轭置换,且为单群,则G是交换群。 定理2.3.5 设A≠1为群G的一个可解2-极大子群.若A在G中共轭置换,则G可解。