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非线性微分方程中奇异和脉冲现象及其应用

张新光  
【摘要】: 非线性泛函分析是分析数学中既有深刻理论又有广泛应用的研究学科,它以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景,建立处理非线性问题的若干一般性理论和方法。因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象,近年来受到了国内外数学及自然科学界的高度重视,逐渐形成了一门重要的学科。它的丰富理论和先进方法为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具,在处理实际问题所对应的各种非线性积分方程,微分方程和偏微分方程中发挥着不可替代的作用。 研究非线性问题的方法主要有变分方法、半序方法、拓扑度方法、解析方法等。研究的主要问题为非线性算子方程解的存在唯一性、多重解、解集的结构、近似解、解的分歧理论,构造收敛于解的迭代算法,非线性算子理论以及对偏微分方程、微分方程、积分方程和微分-积分方程的应用。这些问题都是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一。其中,在既具有代数结构又具有拓扑结构的空间(例如Banach空间)上的问题已研究的比较充分,而另一种数学结构-序,近些年的研究相比之下还比较缓慢。具有序结构的Banach空间,容三种最基本的数学结构(代数,拓扑,序)于一体,对它研究无论在理论上还是应用上都有重要的意义。所以,运用几十年来非线性分析中发展起来的多种先进的分析工具,来研究非线性奇异或脉冲常微分方程初值问题或边值问题,也是一个具有浓厚兴趣并可获取有意义的新成果的研究课题。 本文的目的是在发展半序理论的基础上,利用非线性泛函分析方法研究Banach空间中奇异微分方程边值问题解的存在性及脉冲微分-积分方程初值问题解的存在唯一性及解的迭代及误差估计,我们的注意力主要集中在奇异和脉冲现象的研究上,这中间包括一些半正奇异问题、高奇性问题的特征值、奇异问题解存在的充分必要条件及脉冲初值问题的唯一解等问题的研究。经过深入的研究我们得到了一系列的新成果,这些结果大都已经发表在国内外重要的学术期刊上,如美国的《J.Math.Anal.Appl.》(SCI)、英国的《Nonlinear Analysis》(SCI)、《Appl.Math.Comput.》(SCI)、((Appl.Math.Lett.》(SCI)、《Math.Computer Modelling》(SCI)、及加拿大的《Dynamic of Continuous,Discrete and Impulsive Systems》(SCI)、韩国的《Nonlinear Funct.Anal.Appl.》和国内的《数学物理学报》、《系统科学与数学》等。 全文共分五章。第一章绪论部分,我们对非线性分析发展历史作简要的介绍。第二章我们对具有深刻应用背景的奇异半正问题进行研究,并给出了解决这类问题的一种新方法。第三章我们研究奇异微分方程和微分系统正解存在性,通过单调迭代技巧和上下解方法,我们给出了几类微分系统及微分方程正解存在的充分必要条件,并且给出了解的迭代序列、误差估计和收敛率等。第四章我们把注意力放在高奇异性的微分方程特征值问题的研究上,在这一部分我们首先利用上下解方法和Schauder不动点定理,得到了几类具有Sturm-Liouville边界条件及三点和多点边界条件的弹性梁方程正解存在的充分条件,然后应用Leray-Schauder非线性抉择定理,研究三阶和高阶微分方程多点边值问题特征值的存在性。第五章研究一阶、二阶脉冲积分微分方程整体解的存在性,唯一性,解对初值的连续依赖性,解的迭代和误差估计。这一部分我们得到了许多丰富多彩的结果。这些结果无论在理论还是实际上都有重要的意义。


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