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一类二阶非线性微分方程解的振动性研究

黄艳  
【摘要】: 微分方程的振动性理论是微分方程理论中一个十分重要的分支,它具有非常深刻的物理背景和数学模型.近年来,这一理论在应用数学领域取得了迅速的发展和广泛的重视.有大批学者从事于这方面的理论研究,取得了一系列较好的结果.研究微分方程的振动性理论,有较好的发展前景,并且有较高的实用价值。微分方程解的振动性也是微分方程解的重要性态之一.随着自然科学与生产技术的不断发展,在许多应用问题中均出现了是否微分方程有振动解存在或者是否微分方程的一切解均为振动解的问题.特别是近几十年,微分方程解的振动性的研究发展得相当迅速,其中以二阶非线性微分方程最受人们的关注,因此也被研究得比较深入和广泛,无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展(部分结果可参见文[1]-[36]). 本文利用推广的Riccati变换,积分平均技巧及函数的单调性对几类二阶非线性微分方程进行了进一步的研究,得到一些新的结果. 根据内容本论文分为以下四章: 第一章概述本论文研究的主要问题. 第二章在这一章中,我们主要研究如下带阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性(r(t)k_1(x(t),x′(t)))′+p(t)k_2(x(t),x′(t))x′(t)+q(t)f(x(t))=0,t≥t_0,(2.1.1)主要利用了Riccati变换和积分平均方法将赵雪芹和孟凡伟在文[8]中的结论推广和改进,得到了一些新的振动性准则. 第三章在这一章中,我们主要研究如下带阻尼项的二阶非线性强迫微分方程的振动性(r(t)k_1(x(t),x′(t)))′+p(t)k_2(x(t),x′(t))x′(t)+q(t)f(x(t))=e(t),t≥t_0.(3.1.1) 在第一节中,主要通过运用平均函数H(t,s)∈C(D,R),我们将给出方程(3.1.1)的区间振动准则. 在第二节中,引进了积分算子A_a~b,并且对方程(3.1.1)利用此算子将第一节中的结论做了进一步的推广和改进,得出了关于非线性微分方程(3.1.1)的一些新的振动性准则. 第四章在这一章中,我们主要研究如下的二阶非线性中立时滞微分方程的振动性[r(t)|(x(t)+p(t)x(σ(t)))′|~(α-1)(x(t)+p(t)x(σ(t)))′]′+q(t)f(x(T(t)))g(x′(t))=0.(4.1.1)这章我们将得到方程(4.1.1)在[t_0,∞)的子区间上的一些区间振动的结论.我们的结论也包含函数f(x)的次数并不影响振动性,并且推广和改进了文[22]中的结论,从而得到了一些新的振动性结果.


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