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二阶泛函微分方程边值问题的正解

蒋兰兰  
【摘要】: 泛函微分方程边值问题来源于物理和控制问题中的实际应用,因其能很好的解释自然界中各种现象而受到国内外数学界的重视,是目前非线性泛函分析中最为活跃的研究领域之一.滞后型泛函微分方程和超前型泛函微分方程又因其与控制问题的紧密结合而成为近年来讨论的热点,是泛函微分方程研究中十分重要的领域.这类问题目前已经有了广泛的研究,见[2-8].其中[2]通过Lcray—schauder非线性抉择研究了二阶滞后型泛函微分方程解的存在性.[3]通过上下解的方法研究了一阶超前和滞后型泛函微分方程解的存在性.[6]通过不动点理论研究了一阶滞后型泛函微分方程Floquet边值问题,证明了多个正解的存在性. [4]通过不动点理论研究了二阶滞后型泛函微分方程解的存在性,其中关于,给出了如下限制条件:存在MO;可测函数增函数L_k:R~+→R~+使得 [5]也通过不动点理论研究了二阶滞后型泛函微分方程局部解的存在性,但是在[4]的基础上简化了f的限制条件,使得其更具有可操作性,它具体给出的f的限制条件如下:存在常数H_1>max{||φ||_[-r,0],A}。使得对(?)t∈[0,1]有v∈C_r~+:||v||[-r,0]≤H_1有f(t,v)≤ε||v||_[-r,0]其中ε>0且满足∫_0~TG(s,s)εH_1ds+A≤H_1。 本文在[5]的基础上利用锥理论进一步讨论了超前型二阶泛函微分方程,给出了几种不同的边界条件并依次证明了其正解的存在性,推广了[5]的主要结果,并且在第六节中对奇异性进行了讨论。 本文前几节讨论了二阶泛函微分方程x''(t)+f(t,x_t)=O在几种不同边界条件下正解的存在问题.第三节讨论了在这种条件下二阶泛函微分方程三点边值问题正解的存在性,其中Ok1,η∈[0,T].这推广了[5]对局部问题的主要结果,并将其结论应用到了超前型泛函微分方程. 第四节讨论了在这种条件下二阶泛函微分方程m点边值问题正解的存在性,其中0≤∑_(i=1)~(m-2)k_i≤1.η_(?)∈[0,T],将泛函微分方程边值问题的研究范围从三点扩展到了m点. 第五节讨论了在这种条件下二阶泛函微分方程积分边值问题正解的存在性,其中0∫_0~Tm(s)ds1,m:(0,T)→[0,+∞)连续,并且更进一步简化了f的限制条件:存在常数C_1||φ||_[T,T+r]使得对(?)t∈[0,1].x∈C_r~+:||v||_[T,T+r]≤C_1有f(t,r)≤ε||r||_[T,T+r]其中 第六节在第五节的基础上考虑了如下二阶泛函微分方程


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