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奇数维黎曼流形上的一个刚性现象

吴青  
【摘要】: 本文共分四节. 第一、二节分别为本文的引言与预备知识. 第三节中,我们假设M2n+1是具有度量g的2n+1维紧致无边单连通的Riemannian流形,S2n+1为欧氏空间R2n+2中的单位球面.根据已有的结果可知:存在一个常数δ∈(0.117,0.25),使得对任意紧致单连通Riemannian流形Mn,若其截面曲率满足则内射半径因此若流形M2n+1满足截面曲率利用Hausdorff收敛就推出M2n+1微分同胚于S2n+1.这里η是某个仅依赖于n的正数.而且,结合已有的结果,在上述截面曲率加强的条件下,对所有的维数均成立. 第四节证明了微分结构关于内射半径也具有刚性.在假设Mn是具有度量g的n维紧致无边单连通的Riemannian流形,Sn为欧氏空间Rn+1中的单位球面,K为一正常数的条件下,若流形Mn满足截面曲率那么Mn微分同胚于Sn.这里η是某个仅依赖于n和K的正数.结合上述定理,还可进一步推出在上述内射半径的刚性条件下,体积改为时,Mn仍微分同胚于Sn.


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